Question

我需要为以下算法构建递归关系（T（n）代表元素动作的数量）并找到它的时间复杂度：

Alg (n)
{
    if (n < 3) return;
    for i=1 to n
    {
       for j=i to 2i
       {
           for k=j-i to j-i+100
              write (i, j, k);
       }
    }

    for i=1 to 7
       Alg(n-2);
 }

我来到这个递归关系（不知道它是否正确）：

如果n <1，则T（n）= 1。 3

T（n）= 7T（n-2）+ 100n ²否则。

但我不知道如何获得时间复杂度。

我的复发是否正确？这段代码的时间复杂度是多少？

Answer 1

让我们看看代码，看看复发应该是什么。

首先，让我们看一下循环：

    for i=1 to n
    {
       for j=i to 2i
       { 
           for k=j-i to j-i+100
               write (i, j, k);
       }
    }

这需要做多少工作？好吧，让我们从简化它开始吧。我们不是将j从i计算到2i，而是定义一个从j'到0计数的新变量i。这意味着j' = j - i，因此我们得到了这个：

    for i=1 to n
    {
       for j' = 0 to i
       { 
           for k=j' to j'+100
               write (i, j' + i, k);
       }
    }

啊，那好多了！现在，我们也将k重写为k'，其中k'的范围是1到100：

    for i=1 to n
    {
       for j' = 0 to i
       { 
           for k'= 1 to 100
               write (i, j' + i, k' + j);
       }
    }

由此可以更容易地看出这个循环具有时间复杂度Θ（n ²），因为最里面的循环执行O（1）工作，而中间循环将运行1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =Θ（n ²）次。请注意，它并不完全是100n ²，因为求和并不完全是n ²，但它已接近。

现在，让我们看一下递归部分：

for i=1 to 7
    Alg(n-2);

对于初学者来说，这简直太傻了！没有理由你想做这样的事情。但是，也就是说，我们可以说这是对大小为n-2的输入的7次调用。

因此，我们得到这种递归关系：

T（n）= 7T（n - 2）+Θ（n ²）[如果n≥3]

T（n）=Θ（1）[否则]

现在我们已经复发了，我们可以开始计算出时间的复杂性。这最终有点棘手。如果你考虑我们最终会做多少工作，我们就会得到那个

有1个大小为n的电话。
有7个大小为n - 2的电话。
有49个大小为n - 4的电话。
有343个大小为n - 6的电话。
...
有7个^k调用，大小为n - 2k

由此，我们立即获得Ω的下限（7 ^{n / 2}），因为这是将要进行的调用次数。每次调用都会对O（n ²）起作用，因此我们可以获得O的上限（n ² 7 ^{n / 2}）。真正的价值在于那里的某个地方，虽然老实说我不知道如何弄清楚它是什么。对不起！

希望这有帮助！

Answer 2

正式方法是执行以下操作：

enter image description here

当涉及到递归调用的数量时，可以从源代码直观地推断出流行增长的顺序。

具有2个递归调用的算法具有2 ^ n的复杂度; 3个递归调用复杂性3 ^ n等等。

为此代码构建递归关系？

2 个答案: