Question

以下定理在Coq中是否可证明？如果没有，有没有办法证明它不可证明？

Theorem not_for_all_is_exists:
    forall (X : Set) (P : X -> Prop), ~(forall x : X, ~ P x) -> (exists x: X, P x).

我知道这种相关关系是真的：

Theorem forall_is_not_exists : (forall (X : Set) (P : X -> Prop), (forall x, ~(P x)) -> ~(exists x, P x)).
Proof.
  (* This could probably be shortened, but I'm just starting out. *)
  intros X P.
  intros forall_x_not_Px.
  unfold not.
  intros exists_x_Px.
  destruct exists_x_Px as [ witness proof_of_Pwitness].
  pose (not_Pwitness := forall_x_not_Px witness).
  unfold not in not_Pwitness.
  pose (proof_of_False := not_Pwitness proof_of_Pwitness).
  case proof_of_False.
Qed.

但我不确定如果没有双重否定消除可以帮助我。我也用不同的方法来证明有问题的定理，但无济于事。我只是在学习Coq，所以我可能只是错过了一些明显的东西。

N.B。我很清楚在经典逻辑中这是正确的，所以我不是在寻找一个证据来为底层系统增加额外的公理。

Answer 1

这是不可证明的，因为它相当于双重否定消除（以及其他经典公理）。

我的Coq技能目前非常生疏，但我可以快速说明为什么你的定理意味着双重否定消除。

在你的定理中，为任意X实例化unit到P和fun _ => X到X : Prop。现在我们有~(unit -> ~ X) -> exists (u : unit), X。但由于unit的微不足道，这相当于~ ~ X -> X。

可以通过~ ~ (exists x, P x)上直接应用双重否定消除来证明向后的含义。

我的Agda要好得多，所以我至少可以在那里显示证据（不知道这是否有用，但它可能会稍微支持我的说法）：

open import Relation.Nullary
open import Data.Product
open import Data.Unit
open import Data.Empty
open import Function

∀∃ : Set _
∀∃ = (A : Set)(P : A → Set) → ¬ (∀ x → ¬ P x) → ∃ P

Dneg : Set _
Dneg = (A : Set) → ¬ ¬ A → A

to : ∀∃ → Dneg
to ∀∃ A ¬¬A = proj₂ (∀∃ ⊤ (const A) (λ f → ¬¬A (f tt)))

fro : Dneg → ∀∃
fro dneg A P f = dneg (∃ P) (f ∘ curry)

Answer 2

你的not_for_all_is_exists命题在Coq中是不可证明的。我建议阅读Dirk Van Dalen＆＃34; Logic and Structure＆＃34;第5章进行了更深入的解释。

在直觉主义逻辑（以及诸如Coq的系统）中，为了证明exists x, P x，你必须提供一种方法（或算法）来构造实际的x，使P x成立。

假设not (forall x, not (P x))大致有解释＆＃34;如果我认为P并不适用于所有x，那么我会得到一个矛盾＆＃34;，但这比你得到的结论，建立一个模型将揭示假设不包含足够的信息来挑选P的见证人。

但是，必须说这个原则在Coq中适用于P和X的受限类，一个特定的例子是当P是可判定的谓词而{{1}有限型。

在Coq /直觉逻辑中，这种关系是否可以证明？

2 个答案: