Question

我想弄清楚让我感到惊讶的事情。请考虑以下两个定义。

Require Import List.
Variable A:Type.

Inductive NoDup : list A -> Prop :=
  NoDup_nil : NoDup nil
| NoDup_cons : forall x l, ~ In x l -> NoDup l -> NoDup (x :: l).

Inductive Dup : list A -> Prop :=
  Dup_hd : forall x l, In x l -> Dup (x :: l)
| Dup_tl : forall x l, Dup l  -> Dup (x :: l).

我的第一个直觉是他们说同样的话（但是否定了）。但是，@Arthur Azevedo De Amorim表明它们并不完全等效（or see here）。如果~ NoDup l -> Dup l则必须是forall (a b:A), ~ a <> b -> a = b的情况。因此，如果在陈述一个证明目标时使用A而不是~ NoDup，则Dup类型的额外假设会被偷偷摸摸。

我试图找出引入这个额外假设的地方，以获得所发生事件的心理模型，所以下次我会亲自看到它。我目前的解释是

~ In x l的{{1}}参数负责，因为

NoDup_cons

不同

~ In x l个术语

因此，当我破坏术语om x时，我得到的术语NoDup (_::_)只能为~ In _ _必须保留的A类型创建。< / p> 问：这是一种好的“非正式”思考方式，还是有更好的方式来理解它，所以我不会再陷入这个陷阱了？

此外，我发现Coq library contains NoDup而不是~ a <> b -> a = b，因此可能有些lemma比他们需要的要弱，因为它们是使用Dup代替{{1}制定的}。但是，它们可以使用NoDup来制定Dup。

Answer 1

我认为从这个例子中得出的教训是，在思考直觉主义逻辑中的否定时，你需要更加小心。特别是，你的陈述＆＃34;他们说同样的事情（但否定了）＆＃34;在经典逻辑中有意义：它表示等效语句P <-> ~Q或~P <-> Q。但是，在直觉逻辑中，这两个语句 not 等价，所以你必须更具体地说明这两个语句中的哪一个（如果有的话）实际上是真的。

在这种情况下，为真，NoDup l相当于~ Dup l。什么是不一般是Dup l是一个正常的命题（回想一下如果P，命题~~P -> P被称为正常，在这种情况下它是＆＃39}很容易得出结论P <-> ~~P）。因此，~ NoDup l相当于~~ Dup l，它通常比Dup l严格弱于声明。

考虑两者之间差异的一种可能方式是：从Dup l的具体证明中，可以提取一对索引，使得l的相应条目相等（由于从Prop到Type的消除限制，在字面上不是Coq中的函数，但你肯定可以证明存在这样一对索引的引理）。另一方面，~ NoDup l的具体证据只是提供了一种方法来获取NoDup l的声称证据，并从中得出一个矛盾 - 从中你无法提取任何特定的一对指数。

（我同意，标准库只有NoDup而不是Dup，这有点奇怪。）

直觉主义定义中令人惊讶的隐含假设

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