Question

我已证明Coq中多态 Lists 上反向函数的“正确性”。以下证明很好用，但是我对 rewrite 策略的工作方式有一些疑问。

代码如下：

Require Export Coq.Lists.List.
Import ListNotations.

Fixpoint rev {T:Type} (l:list T) : list T :=
  match l with
  | nil    => nil
  | h :: t => rev t ++ [h]
  end.

(* Prove rev_acc equal to above naive implementation. *)
Fixpoint rev_acc {T:Type} (l acc:list T) : list T :=
  match l with
  | nil => acc
  | h :: t => rev_acc t (h::acc)
  end.

Theorem app_assoc : forall  (T:Type) (l1 l2 l3 : list T),
  (l1 ++ l2) ++ l3 = l1 ++ (l2 ++ l3).
Proof.
Admitted.

Theorem rev_acc_correct : forall (T:Type) (l k :list T),
  rev l ++ k = rev_acc l k.
Proof.
  intros T l.
  induction l as [ | h l' IHl' ].
  - reflexivity.
  - simpl. 
    intro k.
    (* Why is "intro k" required for "rewrite -> app_assoc" *)
    (* But "rewrite -> IHl'" works regardless of "intro k".  *)
    (* generalize (rev l'), [h], k. *)
    rewrite -> app_assoc.
    simpl.
    rewrite -> IHl'.
    reflexivity.
Qed.

在 rev_acc_correct 证明的归纳步骤中，如果我跳过前奏，则用 app_assoc 重写会抱怨找不到匹配项子项。

Found no subterm matching "(?M1058 ++ ?M1059) ++ ?M1060" in the current goal.

在这里，我假设占位符名称前的？表示该术语受约束，在这种情况下，某些类型的类型为 List T T ;并且由于目标中的 rev l'和 [h] 是 List T 的实例，因此人们期望目标匹配。

另一方面，使用归纳假设（ rewrite-> IHl'）代替 app_assoc 进行重写，而无需前导k 之前。

我发现 rewrite 的这种行为有点令人困惑，并且Coq手册未提供任何详细信息。我不想通读实现，但是我需要对重写策略的作用有很好的操作理解，尤其是在术语匹配如何工作方面。对此方向的任何回答/推荐都将受到高度赞赏。

Answer 1

此重写的复杂之处在于，存在一个 binder （forall k），它会使事情复杂化。如果您只是想让一切正常，请使用setoid_rewrite而不是rewrite，它将在活页夹下重写。

rewrite IHl'看起来像是在绑定器下发生的，但是要重写的模式实际上并不涉及绑定变量，因此绑定器实际上并不重要。这就是我的意思：目标是
```
forall k : list T, (rev l' ++ [h]) ++ k = rev_acc l' (h :: k)
```
与（等于）相同：
```
 (fun l : list T => forall k : list T, l ++ k = rev_acc l' (h :: k)) (rev l' ++ [h])
```
我在Ltac中使用pattern (rev l' ++ [h])获得的
。现在很明显，您可以只重写要应用的零件，而忽略活页夹。当您执行rewrite IHl'时，Coq会很容易地发现IHl应该专门用于[h]，并且重写会继续进行。
rewrite app_assoc需要专门用于三个列表，特别是rev l'，[h]和k。它不能在当前上下文中专用，因为变量k仅绑定在forall下。这就是为什么模式(?x ++ ?y) ++ ?z没有出现在目标中的原因。

那么您实际上在做什么？您当然可以引入k，所以没有活页夹，但是有一种更简单，更通用的技术：Coq具有广义的重写功能，可以在活页夹下进行重写，您可以通过调用setoid_rewrite来使用（请参见{ Coq参考手册中的{3}}。手册告诉您需要声明态射，但是在这种情况下，forall都已为您实现了相关的射态，因此setoid_rewrite app_assoc就可以使用。

请注意，尽管您总是可以引入forall来摆脱活页夹，但是当您的目标是setoid_rewrite时，exists会非常方便。不必使用eexists，而只需在活页夹下重写即可。

Coq：在假设或目标中用“ forall”重写

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