Question

我有一个概率问题，我需要在合理的时间内模拟。在简化形式中，我有30个不公平的硬币，每个硬币具有不同的已知概率。然后，我想问一些问题，例如“12个人将成为头部的概率是多少？”，或者“至少5个尾部的概率是多少？”。

我知道基本概率理论，所以我知道我可以枚举所有（30选择x）的可能性，但这不是特别可扩展的。最坏的情况（30选择15）有超过1.5亿组合。从计算的角度来看，是否有更好的方法来解决这个问题？

非常感谢任何帮助，谢谢！： - ）

Answer 1

您可以使用动态编程方法。

例如，要计算30个硬币中12个头的概率，让P（n，k）为前n个硬币中有k个头的概率。

然后P（n，k）= p_n * P（n - 1，k - 1）+（1 - p_n）* P（n - 1，k）

（这里p_i是我硬币头的概率）。

您现在可以在动态编程算法中使用此关系。有一个13个概率的向量（代表0（12）中i的P（n - 1，i））。使用上述递归关系为P（n，i）构建13的新向量。重复直到n = 30.当然，你从n = 0的向量（1,0,0,0，...）开始（因为没有硬币，你肯定不会得到头）。

使用此算法的最坏情况是O（n ^ 2）而不是指数。

Answer 2

这实际上是一个有趣的问题。我受到启发，写了一篇关于它的博客文章，详细介绍了公平与不公平的硬币投掷，一直到OP的每个硬币具有不同概率的情况。您需要一种称为动态编程的技术来在多项式时间内解决此问题。

一般问题：鉴于 C ，一系列 n 币 p ₁到 p _n其中 p _i表示 i - 硬币出现的概率， k 头部抛出所有硬币的概率是多少？

这意味着解决以下递归关系：

P （ n ， k ， C ， i ）= < em> p _i x P （ n -1， k -1， C ， i +1）+（1- p _i）x P （ n ， k ， C ， i +1）

执行此操作的Java代码段是：

private static void runDynamic() {
  long start = System.nanoTime();
  double[] probs = dynamic(0.2, 0.3, 0.4);
  long end = System.nanoTime();
  int total = 0;
  for (int i = 0; i < probs.length; i++) {
    System.out.printf("%d : %,.4f%n", i, probs[i]);
  }
  System.out.printf("%nDynamic ran for %d coinsin %,.3f ms%n%n",
      coins.length, (end - start) / 1000000d);
}

private static double[] dynamic(double... coins) {
  double[][] table = new double[coins.length + 2][];
  for (int i = 0; i < table.length; i++) {
    table[i] = new double[coins.length + 1];
  }
  table[1][coins.length] = 1.0d; // everything else is 0.0
  for (int i = 0; i <= coins.length; i++) {
    for (int j = coins.length - 1; j >= 0; j--) {
      table[i + 1][j] = coins[j] * table[i][j + 1] +
          (1 - coins[j]) * table[i + 1][j + 1];
    }
  }
  double[] ret = new double[coins.length + 1];
  for (int i = 0; i < ret.length; i++) {
    ret[i] = table[i + 1][0];
  }
  return ret;
}

这是在构建一个表格，显示从 p _i到 p _{n的硬币序列的概率}包含 k 头。

有关二项式概率的更深入介绍以及有关如何应用动态规划的讨论，请查看Coin Tosses, Binomials and Dynamic Programming。

Answer 3

伪代码：

    procedure PROB(n,k,p)
/*
    input: n - number of coins flipped
           k - number of heads
           p - list of probabilities  for n-coins where p[i] is probability coin i will be heads
    output: probability k-heads in n-flips
    assumptions: 1 <= i <= n, i in [0,1], 0 <= k <= n, additions and multiplications of [0,1] numbers O(1)
*/

A = ()() //matrix
A[0][0] = 1 // probability no heads given no coins flipped = 100%

for i = 0  to  k                                                              //O(k)
    if  i != 0  then  A[i][i] = A[i-1][i-1] * p[i]
    for j = i + 1  to  n - k + i                                              //O( n - k + 1 - (i + 1)) = O(n - k) = O(n)
        if i != 0 then  A[i][j] = p[j] * A[i-1][j-1] + (1-p[j]) * A[i][j-1]
        otherwise       A[i][j] = (1 - p[j]) * A[i][j-1]
return A[k][n] //probability k-heads given n-flips

最坏情况= O（kn）

结果算法的可能性

3 个答案: