计算一组结果可能性的有效方法？

Question

假设我正在玩10种不同的游戏。对于每个游戏，我都知道获胜的概率，搭售的概率和失败的概率（每个游戏都有不同的概率）。

根据这些值，我可以计算赢得X游戏的概率，丢失X游戏的概率，以及绑定X游戏的概率（X = 0到10）。

我只想弄清楚赢得 W 游戏，绑定 T 游戏以及在玩完所有游戏后输掉 L 游戏的可能性10场比赛......希望比O（3 ^ n）做得更好。例如，赢得7，失去2和打1的概率是多少？

有什么想法吗？谢谢！

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编辑 - 这里有一些示例数据，如果只有2个游戏：

游戏1：

• 胜利：23.3％
• tie：1.1％
• 输掉：75.6％

第2场比赛：

• 胜利：29.5％
• tie：3.2％
• 输掉：67.3％

基于此，我们可以计算出2场比赛之后的概率：

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• 0胜：54.0％
• 1胜：39.1％
• 2胜：6.9％

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• 0 tie：95.8％
• 1领带：4.2％
• 2个领带：0.0％

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• 0亏：8.0％
• 1损失：41.1％
• 2损失：50.9％

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基于这些数字，是否存在一个通用公式，用于查找 W 获胜， T 联系和 L 损失的概率？可能的结果（W-L-T）将是：

• 2-0-0
• 1-1-0
• 1-0-1
• 0-1-1
• 0-2-0
• 0-0-2

Answer 1

这可以通过动态编程完成，我不确定是否有更好的方法，因为游戏是独立的。

拥有4-D阵列，包括胜利，失败，关系和比赛。您可以将赢/输/关系限制为您想要的数字（让这些为W，L，T，W + L + T = G），时间复杂度为O（W * L * T * G），这是有界的由O（G⁴）。

该算法基本上是：

A[][][][] = new double[G+1][W][T][L]
// A[g][w][t][l] is the probability of have w wins, t ties, l losses
// after g games. This can be computed from A[g-1].
// Let P[g][o] be the probability of outcome o for game g
//everything else is initially 0.
A[0][0][0][0] = 1
for g=1..G
 for w=0..W
  for t=0..T
   for l=0..L
    A[g][w][t][l] = A[g-1][w-1][t][l]*P[g][win] // assume out of bounds
                   +A[g-1][w][t-1][l]*P[g][tie] // reference returns 0
                   +A[g-1][w][t][l-1]*P[g][lose]
return A[G][W][T][L]

修改）

我们可以用O（W * L * T * G / max（W，L，T）），即O（G³）来做到这一点。请注意，如果我们在G比赛之后有W胜利和T领带，那么我们必须有L损失。

// we should pick the conditions we loop to be the smallest two.
// here we just use wins and ties.
A[][][][] = new double[G+1][W][T]
A[0][0][0] = 1
for g=1..G
 for w=0..W
  for t=0..T
   A[g][w][t] = A[g-1][w-1][t]*P[g][win] // assume out of bounds
               +A[g-1][w][t-1]*P[g][tie] // reference returns 0
               +A[g-1][w][t]*P[g][lose]
return A[G][W][T]

通过分别计算x wins / ties / loss的概率（O（G）），然后智能地添加/减去它们，也许可以更快地做到这一点，但我还没有找到办法做到这一点

Answer 2

对于您的示例，您需要考虑结果可能发生的方式。

对于胜利7，输掉2，平局1.有10! / (2!*7!)或360种可能的方式。因此，将所有结果乘以，然后乘以结果的许多排列。

对于所有的胜利，你可以成倍增加，因为只有一个十胜的排列。对于混合，您需要考虑排列。

一般来说，对于这个问题，排列将是10!/(w!*l!*t!)，其中w是胜利数，l是损失数，t是关系数。

修改1 请注意，上面仅说明了如何计算排列。总概率是排列次数（pw ^ w * pl ^ l * pt ^ t），其中pw是胜利的概率，pl是亏损，pt平局。 w，l和t是每个的计数。

编辑2 好的，根据新的信息，我不知道这样做的一般方法。您必须手动单独计算每个结果并将它们加在一起。以上是你的两个游戏示例。如果你想找到1胜1平的概率，你必须找到每一种可能的方法来获得1胜和1胜（只有两场）并加起来。

对于初始示例的十场比赛，您将获得符合条件的360个结果。你必须做每个排列并加上概率。 （wwwwwwwllt，wwwwwwwltl等）不幸的是，我不知道有更好的方法来做到这一点。

此外，在你的两场比赛中，对于一场胜利和一场平局，你必须增加赢得第一场比赛的概率，并将第二场比赛与第一场比赛的概率联系起来，然后再获胜。

因此，有九个独立的结果：

W W
W T
W L
T W
T T
T L
L W
L T
L L

Answer 3

我的区域，统计数据！

你需要计算一个排列的几率，这可以这样做：

O = chanceWin^numWin * chanceTie^numTie * chanceLose^numLose

其中numWin，numLose和numTie是7,2和1，根据你的例子。

现在乘以获胜的排列，即：

O *= 10! / ((10-numWin)! * numWin!)

然后输了：

p = 10-numWin
O *= p! / ((p-numLose)! * numLose!)

然后搭便车：

p = 10-(numWin+numLose)
O *= p! / ((p-numTie)! * numTie!)

现在O是你赢得numWin游戏，输掉numLose游戏并在10场比赛中打出numTie游戏的几率。

Answer 4

如果您不想超过3 ^ n选项，可以采样 近似：决定N，你的次数希望抽样。运行N个样本，并计算每种类型的结果数量（0胜1负等）。每个结果的概率大概是number_of_samples_resulting_this_outcome / N。

Answer 5

注意

以下回复仅在通过一系列游戏获胜/失败概率已确定时有效。我误解了这些条件。无论如何，我把它留作简单案例的解决方案。

我得到了W胜利，L输球和N-W-L联系的公式：

计算的复杂性

每个幂和阶乘最多具有N的阶数，因此该值可以在线性时间中计算，除非我缺少某些要求。

以下Java代码适合我。我还验证了概率总和为1：

public static double p(int w, int l, int t, double pw, double pl) {
    double r = factorial(w+l+t) * Math.pow(pw,w) * Math.pow(pl,l) * Math.pow(1-pw-pl, t);
    r /= factorial(w) * factorial(l) * factorial(t);
    return r;
}

private static long factorial(int n) {
    long res = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        res *= i;

    return res;
}