Question

问题是：

对于（a）似乎不是真的，我们可以找到一个流动增长的例子而不会饱和。

对于（b）似乎是真的，但我不确定如何证明它。也许是因为 min cut max flow theorm，它是在最小切割所以它必须增长。

对于（c）它似乎是假的。流量增长是因为e改变了，但e可能还没有增长到5。

Answer 1

（1）对我来说似乎是对的 - 如果你设法增加最大流量，则意味着你找到了从源到接收器的新路径（在增加边缘e之前不存在）。因此e必须位于此新路径中，但如果之前e未饱和，则路径将存在于原始图表中。

（2）是假的。采取这样的图表：

s --20-- n --20-- t

如果s是来源，t接收器，则有两个小切（{(s, n)}和{(n, t)}），但增加(s, n)或(n, t)不会改变最大流量。

（3）是假的。采取这样的图表：

s --20-- n --25-- t

如果我将e = (s, n)的容量增加10，则新的最大流量为25，但我没有将e的值增加{{1} }}

Answer 2

对于（1）：

通过增加某个边e的容量，网络的最大流量从20增加到30，我们需要证明e在增加之前必须已经饱和。

反之，考虑e在增加之前没有饱和。在这种情况下，必须存在边{（或边缘组）e'，其中整个流e也通过e'并且网络的最大流量受限于通过边e'的容量，capacity(e') < capacity(e)（否则e将饱和）。

鉴于此，如果我们增加capacity(e)，那么我们仍然处于capacity(e') < capacity(e)并且网络的最大流量不受增加的容量影响的情况。

这是一个矛盾（因为增加e的容量增加了最大流量）;所以e必须已经饱和（并且您可以进一步注意，如果e'存在，则无法使max-flow饱和而饱和）。

例如：

    /-- 10 --\ 
source      node -- 30 -- sink
    \-- 10 --/

        e'           e

上图显示了最大流量受到源边缘e'从源到节点e的容量限制而且e（从节点到接收端）不饱和且增加{的矛盾。 {1}}不会增加最大流量。

然而，

    /-- 15--\ 
source      node -- 20 -- sink
    \-- 15 --/

        e'           e

在此图表中，e已饱和（并且e'未饱和) and increasing the capacity of e`到30（或更多）会将图表的最大流量增加到30。 / p>

其余的：