Question

对于我的算法分析课程，我从算法推导出函数f（n）= n ^ 2 - n + 2.现在我需要证明或反驳 f（n）∈O（n） 即可。显然它不是，所以我一直试图反驳这一点几个小时，但无法弄清楚如何去做。

为了反驳它，我需要证明消极：

∀M > 0, ∀N > 0, ∃n > N s.t. n^2 - n + 1 < M·n

我尝试过后退，但似乎无法到达任何地方。我也试图证明，根据我的判断，f（n）∈O（n）：

∃M > 0, ∃N > 0 s.t. ∀n > N, n^2 - n + 1 ≥ M·n

......没有成功。我在做什么这么可怕的错误？

Answer 1

已经有一段时间了，但至少它不是大... ...

f(n) ∈ O(g(n) <--> (∃c,m>0) | (∀n>m) 0 < f(n) <= cg(n)

let f(n) = n^2 - n + 2
let g(n) = n

(∃c,m>0) | (∀n>m) 0 < n^2 - n + 2 <= cn
(∃c,m>0) | (∀n>m) 0 < n^2 - n <= cn
(∃c,m>0) | (∀n>m) 0 < n^2 <= cn + n
(∃c,m>0) | (∀n>m) 0 < n^2 <= 2cn + n
(∃c,m>0) | (∀n>m) 0 < n^2 <= (2c+1)n

let C = 2c+1

(∃C,m>0) | (∀n>m) 0 < n^2 <= Cn
(∃C,m>0) | (∀n>m) 0 < n <= C

(∃C,m>0) | (∀n>m) 0 < n <= C

There is no constant C s.t. 0 < n <= C for all sufficiently large n.
Therefore, n^2 - n + 2 is not O(n)

Answer 2

假设有一些C＆gt; 0和M> 0使得对于所有n> M，

所有n的

n ^ 2 - n + 1 <= Cn>中号

除以n

n - 1 + 1 / n＆lt; = C，所有n>中号

等等

所有n的

n-1＆lt; = C＆gt;微米。

这是不可能的。

Answer 3

矛盾证据怎么样？设置你的一般情况，使你试图表明它是真的，然后通过一个在每种情况下必须为假的陈述，那么整个证明必须是假的。

证明或反驳n ^ 2 - n +2∈O（n）

3 个答案: