你如何找到这种递归函数的空间复杂性？

Question

f (int n){
    if (n<=0){
        return 1;
    }
    return f(n-1) + f(n-1);
}

假设我们做了f（4）。我的想法是它会是O（2 ^ n），从那以后为了找到f（n-1）+ f（n-1），我们必须将f（n-1）= f（3）推到调用堆栈两次，然后f（2）调用堆栈的四倍等。但是，我得到的这本书说是O（n）。为什么这是真的？

Answer 1

让我们设想为f（4）（你考虑的例子）评估这个。这是怎么回事。堆栈首先看起来像

I need to compute f(4)

然后f（4）的计算重复到`f（3），堆栈看起来像

I need to compute f(4), so
 I need to compute f(3)

然后我们继续往下走，最终到达

I need to compute f(4), so
 I need to compute f(3), so
  I need to compute f(2), so
   I need to compute f(1), so
    I need to compute f(0)

然后，我们可以将f（0）计算为1，最后一次调用返回。倒数第二个调用（计算f（1）的那个），然后想要计算f（0）的第二个副本，并且堆栈转到：

I need to compute f(4), so
 I need to compute f(3), so
  I need to compute f(2), so
   I need to compute f(1), and although I've already computed the first f(0)=1, I still need to compute the second occurrence of f(0), so
    I need to compute f(0) (again)

然后返回，因此f（1）的计算可以返回，我们到达

I need to compute f(4), so
 I need to compute f(3), so
  I need to compute f(2), and although I've already computed the first f(1)=2, I still need to compute the second occurrence of f(0)

从那里堆栈变成：

I need to compute f(4), so
 I need to compute f(3), so
  I need to compute f(2), and although I've already computed the first f(1)=2, I still need to compute the second occurrence of f(0), so...
   I need to compute f(1)

它将继续像以前一样计算f（1）。

重点是堆栈只会变得像n一样深，即使（最终）将执行2 ^ n次操作。因此时间复杂度为O（2 ^ n），但空间复杂度仅为O（n）。