Question

int print4Subtree(struct Node *root) {
    if (root == NULL)
      return 0;
    int l =  print4Subtree(root->left);
    int r =   print4Subtree(root->right);
    if ((l + r + 1) == 4)
       printf("%d ", root->data);
    return (l + r + 1); }

该算法/代码在二叉树中找到具有恰好4个节点的子树数，它以自下而上的方式工作。我知道这段代码的时间复杂度为O（n），空间复杂度为O（log n），因为它使用递归。

代码的重现关系是什么？

我尝试绘制T（n）= 2T（n-1）+1，这显然是错误的！

Answer 1

在您更了解树结构的情况下，您只能单独讨论 n 中的递归关系，例如：

案例1：每个节点只有一个孩子的意思 T （ n ）= T （0）+ T （ n -1 ）+ k 。
案例2：任何级别的子树都是平衡的 T （ n ）= 2 T （（ n -1）/ 2）+ k < / em>的。

这两个都会导致O（ n ），但这两种情况只是非常少数可能的树。对于更通用的方法，您必须使用类似 T （ n ）= T （ a ）+的公式 T （ b ），其中 a 和 b 是由于结构导致的子问题的任意划分你的树。您仍然可以使用strong induction从这种公式中建立结果。

以下是我将使用的确切公式和方法：
T （ n ）= nk + m _n c ，其中 m _n ≤ n + 1.（注意：我使用 k 进行递归步骤的开销， c < / em>用于基本/空步骤的开销。）

基本情况（ n = 0）：
对于空节点 T （0）= c 所以 T （ n ）= kn + m _n c ，
其中 m _n =1≤ n +1 = 1。 归纳步骤（ T （ x ）= xk + m _x c 对于所有 x ＆lt; n ）：
大小 n 的sub_tree有两个大小为 a 和 b 的子树（ a 或 b 可能为0）， n = a + b + 1。 T （ n ）= T （ a ）+ T （ b ）+ k = ak + m _a c + bk + m _b c + k =（ a + b +1） k +（ m _a + m _b ） c = nk + m _n c ，
其中 m _n = m _a + m _b ≤ a + 1 + b + 1 = n + 1。

使用 m _n 的原因仅仅是使证明更加平滑的形式，因为确实的空案例数是实际受树结构影响的（在前一种情况2中，它是log n ）。所以 T （ n ）充其量只是O（ n ），因为 nk 一词，并且可以是no因为 m _n c 上的绑定而比O（ n ）更差。

给定算法的递归关系？

1 个答案: