Question

的练习面试问题

我被困住了，我试图理解Solution这个问题。这是这个问题的递归解决方案。（我的评论要理解它）

  public static int numWays(int[] coins, int sumTo) {
   return numWaysWhichCoin(coins, sumTo, 0);
}
private static int numWaysWhichCoin(int[] coins, int sumTo, int whichCoin) {
    if(sumTo == 0) {
        //empty set
        return 1;
    } else if(sumTo < 0) {
        //no way to form a negative sum with positive coin values
        return 0;
    }  else {
        //sumTo is positive 
        //case gone through all the coins but still a positive sum. Impossible
        if(sumTo > 0 && whichCoin == coins.length) {
            return 0;
        }
        //with and without. With, you can keep using the same coin 
        return numWaysWhichCoin(coins, sumTo - coins[whichCoin], whichCoin) + numWaysWhichCoin(coins, sumTo, whichCoin + 1);
    }
}

作者指出该算法在O（2 ⁿ）时间复杂度下运行。根据我在面试中的经验，你应该证明你的答案是合理的。

你如何证明这个时间的复杂性？从我之前的工作到显示在O（2 ⁿ）时间运行的算法，我会使用递归关系，如（Fibonacci）T（n）= T（n-1）+ T（n-2））+ c <= 2T（n-1）+ c，
T（1）= d，但我不能得到像这里那样的递归关系。还有另一种方法可以解决这个问题吗？

Answer 1

这两个递归调用使它就像一个以2 n速率增长的binaric树。

就复杂性而言，您的算法与Fibonacci递归算法完全相同。因此，您可以查看并找到许多答案和表达式，甚至可以证明为什么递归Fibonacci的大小为2 n。

Answer 2

假设有R种不同的组合（请求的结果）。在特定解r中使用的第i个硬币（0 <= i <= M-1）的硬币数（0 <= r <= R-1）是C（i，r）。因此对于0 ... R-1中的每个r，我们有C（0，r）+ C（1，r）+ .... C（M-1，r）= N. 0 ... R-1中每个r的C（i，r）的最大值是max_c（i）= floor（N / Vi）（Vi是硬币i的值），其小于或等于N. 其中i = 0..M-1的c_max（i）之和<= N * M.因此，在所有组合中使用的单个硬币的总数是O（NM）。你提出的算法只是迭代c_max（i）每个硬币值Vi的单个硬币的所有子组，即O（2 ^（NM））。

如何证明算法的时间复杂度为O（2 ^ n）？

2 个答案: