Question

这是我在mathexchange.com上的帖子的副本。

让 E（n） 成为 n 的所有可能结束安排的集合em> 竞争对手。

显然，因为这是一场比赛， n 竞争对手中的每一个都希望获胜。因此，安排的顺序确实很重要。我们还要说，如果两个竞争对手以相同的时间结束，他们会赢得相同的位置。

例如， E（3） 包含以下几组安排：

{（1,1,1），（1,1,2），（1,2,1），（1,2,2），（1,2,3），（1， 3,2），（2,1,1），（2,1,2），（2,1,3），（2,2,1），（2,3,1），（3,1， 2），（3,2,1）}。

毋庸置疑，例如，（1,3,3）的安排无效，因为据称的两个竞争者在第三名结束，实际上以第二名结束。所以上述安排＆＃34;将＆＃34; 转移到（1,2,2）。

将 k 定义为子集中竞争对手的不同排名的数量 E（n）中。 我们有例如：

（1,1,1）-------＆gt; k = 1

（1,2,1）-------＆gt; k = 2

（1,2,3,2）-------＆gt; k = 3

（1,2,1,5,4,4,3）-------＆gt; k = 5

最后，让 M（n，k） 为的子集数量 em> E（n） 其中竞争对手以完全 k 不同的职位结束。

我们得到，例如， M（3,3）= M（3,2）= 6 和 M（3,1））= 1 。

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到目前为止是问题

这是我自己想出的一个问题。经过一段时间的思考后，我想出了 | E（n）|： 的以下递归公式 （如果您想自己推导出公式，请不要继续阅读！）

| E（n）| = 从l = 1到n的C（n，l）* | E（nl）| 其中 | E（0）| = 1

这个函数的Java代码，使用BigInteger类：

public static BigInteger E (int n)
{
    if (!Ens[n].equals(BigInteger.ZERO))
        return Ens[n];
    else
    {
        BigInteger ends=BigInteger.ZERO;
        for (int l=1;l<=n;l++)
            ends=ends.add(factorials[n].divide(factorials[l].multiply(factorials[n-l])).multiply(E(n-l)));
        Ens[n]=ends;
        return ends;
    }
}

factorials 数组是一个预先计算的因子数组，用于更快的二项式系数计算。

Ens 数组是memoized / cached E（n） 值的数组，由于需要，它们可以真正加快计算速度重复计算某些 E（n） 值。

这种递归关系背后的逻辑是 l 象征着有多少＆＃34;第一＆＃34;我们有斑点。对于每个 l ，二项式系数 C（n，l）表示我们可以从多少种方式中选择 l 第一个位置< strong> n 竞争对手。一旦我们选择了它们，我们需要弄清楚我们可以在多少方面安排我们留下的 n-l 竞争对手，这只是 | E（n-l）| 。我得到以下内容：

| E（3）| = 13

| E（5）| = 541

| E（10）| = 102247563

| E（100）| mod 1 000 000 007 = 619182829 -------＆gt; 20毫秒。

和| E（1000）| mod 1 000 000 007 = 581423957 -------＆gt; 39秒

我发现 | E（n）| 也可以显示为以下适用的套数：

对于每个 i = 1,2,3 ... n ，原始集的每个 i-tuple 子集都具有GCD（最大公约数）它的元素等于1。但我对此并不是100％肯定，因为我无法为大 n 计算此方法。然而，即使使用预先计算因子并记忆 E（n），高 n 的计算时间也会非常快。有人能够验证上述公式和价值吗？任何人都可以获得更好，更快的公式吗？也许产生功能？

至于 M（n，k） ..我完全无能为力。我绝对不知道如何计算它，因此我无法发布任何有意义的数据点。也许它的 P（n，k）= n！/（n-k）！ 任何人都可以找出 M（n，k） 的公式吗？

我不知道哪个函数难以计算， E（n） 或 M（n，k） ，但帮助我解决其中任何一个都会非常明显。

我希望这些解决方案既通用又有效，即使对于大型 n 也是如此。不幸的是，详尽的搜索并不是我所寻找的。我正在寻找的是纯粹基于组合方法和有效公式的解决方案。

我希望自己能够清楚地了解我的帖子中的措辞和要求。顺便说一句，我可以用Java编程。我也非常了解Mathematica :)。

提前多多感谢，

马坦。

Answer 1

E（n）是Fubini numbers。 M（n，k）= S（n，k）* k !,其中S（n，k）是Stirling number of the second kind，因为S（n，k）是不同放置分区的数量，并且k！是排名的方式的数量。

n个竞争者竞赛中k个职位的安排

到目前为止是问题

1 个答案: