有向图的最小支配集

Question

http://en.wikipedia.org/wiki/Dominating_set

现在，我有一个想法找到它，我需要你的意见

第一：
在图上创建一个排名系统，每个顶点都有一个排名。 顶点等级为：2 * [出边数] - [边内数]

第二：
更改DFS算法：使其返回生成林上所有根的组（不会改变复杂性）

算法：
1.从所有顶点开始作为最小支配集
2.使用起始顶点运行DFS：排名最高的顶点
3.查看生成林上的根，获取最小支配集的列表，并删除不是生成林上的根的每个顶点
4.重复2-3，排名第二的顶点保留在最小支配集上 5.当你在最小支配集上的每个顶点上运行DFS时停止 6.退货

我使用adj-list，所以DFS是O（| V | + | E |） 你怎么看待这个算法？它会起作用吗？我可以做得更好吗？这个算法的最坏情况是什么？

Answer 1

会起作用吗？

没有。一个简单的反例是这个图：

排名为[1:6, 2:-1, 3:1, 4:-1, 5:-1].在第2步，您从顶点1.运行DFS它是生成林中唯一的根，因此在第3步中删除所有其他顶点并返回。但是，这不是一个主导的集合！ 5既不在主导集合中的节点也不相邻。

此算法的最坏情况是什么？

最坏的情况是O（| V | + | E | + k ² ），其中k是返回集的大小。您将在第一次删除除根之外的所有内容，因此循环中的下一个O（k）时间每次只需要O（k）时间。

我可以做得更好吗？

是的，无论是正确性还是速度。删除当前顶点的所有邻居，然后移动到仍然在集合中的下一个顶点。这只需要O（| V | + | E |）。

似乎你试图获得更接近全球最小值的东西;为此，我建议检查文献中的＆＃34;最小支配集近似。＆＃34;