顶点覆盖与主导集合

Question

我试图理解顶点覆盖和支配集之间的区别。

根据理解，在支配集中，集合D包含与不在D中的其他顶点相邻的顶点（对于V中的每个v，v在D中或者与D中的一个相邻）。

在顶点覆盖中，D中的所有顶点都覆盖了所有边缘，但通过这样做，它们与其他顶点相邻，它们不在D中 - 那么为什么它不是一个支配集？

Answer 1

我在维基百科的Dominating Set文章中找到了一些图表来说明这种差异。

这些示例显示了不是顶点覆盖的主导集（红色），与您稍后在问题中提到的相反。 （V-D）中的边缘阻止它们成为顶点覆盖。

Answer 2

以前的答案很好但是最简单的例子还没有写在这里：

Answer 3

您只需要考虑四个顶点上的路径来区分这两个概念。设a，b，c，d为这种路径的连续顶点。然后{a，d}是一个支配集，但不是顶点覆盖（因为它无法覆盖边缘bc）。

Answer 4

1. 如果顶点覆盖范围外有零度顶点，则顶点覆盖可能不是主导集。顶点覆盖＆＃39;覆盖＆＃39;所有边缘，但零点顶点不与顶点覆盖相邻。

2. 如果存在边缘，则支配集可能不是顶点覆盖，例如e =（u，v），其中u和v都在支配集之外。如果u和v都与其他边缘的支配集中的顶点相邻，则这是可能的。

Answer 5

我不能从给定的答案中快速理解顶点覆盖和支配集之间的差异，所以我进行了查找。

定义顶点覆盖：

According to Wikipedia：

图的“ p”顶点覆盖是一组顶点，其中至少包含 图的每个边缘的一个端点。”

因此，用简单的话来说，对于每条线，必须在2个点/节点（连接到线的末端）中的1个位于点/节点的集合中。

定义支配集：

According to Wikipedia:

图G =（V，E）的控制集是V的子集D D以外的每个顶点都与D的至少一个成员相邻。

因此，用简单的话来说：所有点/节点都必须位于（点/节点的）集合中，或通过一条线/边连接到集合。

给定示例的说明

这就是在@Daniel给出的示例中的原因：

每2个节点是一个顶点覆盖，而一个节点不能是一个顶点覆盖，因为与所选节点相对的线在“顶点覆盖集中没有至少1个节点”。

可视化差异

差异如下图所示：

但是1个节点是主要的集合，因为在这种情况下，所有节点都位于集合中，或者通过1条线连接到集合。 （这里的1条线是按距离排列的，如果有2条线并联连接到主导组，也可以是完美的，只要它不仅是串联的/彼此之间只有2条线连接到主导组）

下面添加了一个示例，以直观地说明为什么单个节点是3个节点中的支配集：

Answer 6

每个Vertex封面都是一个主导的集合，但反之则不然。 例如，如果你有一个图G =（V，E）G = {a，b，c，d，e}和E = {（a，b），（b，c），（c，d），（ e，a），（e，b）}，然后支配集DS = {b，e}不是G的顶点覆盖。边缘（c，d）未被覆盖。

Answer 7

对于连通图，顶点覆盖必须是主导集。对于隔离节点，您需要将其包含在支配集中，但在顶点覆盖中不需要它。但是，支配集是较大的类，它们不必是顶点覆盖，如this reply中的示例所示。

Answer 8

我认为主要区别在于顶点覆盖，一条边在顶点覆盖集中必须至少具有其端点之一。但是，对于支配集，它满足节点在集合中还是其直接邻居位于集合中的情况，因此边缘的两个端点都可能不在集合中（仅当两个端点都在集合中时才发生连接到集合中的节点）。希望这可以澄清一点。

Answer 9

• 顶点覆盖：：您可以将它们看作是对任何通道（边缘）都有关注的策略。这样，他们可以关注除孤立节点之外的任何节点，因为节点不是他们关心的问题。它们必须覆盖所有段落。

• 控制集：：这些是关注任何节点的策略。通道并不重要，因此如果其中一个通道通过一条边监视节点，则与该节点相连的其他边缘可能不会被遮盖，因为通道不受这些策略的影响。

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