顶点覆盖的近似算法

Question

如果P不等于NP，则可以显示没有近似算法位于最佳顶点覆盖的k范围内，其中k是固定常数？

Answer 1

如果要根据附加误差来理解该问题，则不存在这样的算法。针对矛盾，假设A是一种算法;这意味着存在非负整数k，对于任何图G，

A(G) <= tau(G) + k

成立，其中A(G)是由G生成的A的顶点封面的基数，tau(G)表示最小顶点封面的基数。对于所提到的算法的存在，让k选择为最小。特别是，我们有k => 1，否则顶点覆盖问题可以在多项式时间内解决，除非P=NP成立，否则这是不可能的。

让G成为任意图;通过G' k+1的同构副本创建图G;然后

tau(G') = (k + 1) tau(G)

成立。此外，我们获得以下内容。

A(G') <= tau(G) + k
       = (k + 1) tau(G) + k

让G*成为G G'的同构副本，A生成最小顶点覆盖;让A(G*)表示此顶点覆盖的大小。针对矛盾，我们假设

A(G*) >= tau(G*) + k

成立。这意味着

A(G') >= (k + 1) A(G*)
      >= (k + 1) (tau(G*) + k)
       = (k + 1) (tau(G) + k)
       = (k + 1) tau(G) + k + k^2
       > (k + 1) tau(G) + k

成立，因为k > 0成立。这与A的近似质量相矛盾。这意味着

A(G*) < tau(G*) + k

成立。如果tau(G*) = tau(G)成立，则表示我们使用A生成G的顶点封面，其基数严格小于

tau(G) + k

这是一个矛盾，因为k被最小化选择，并且所有构造步骤都可以在多项式有界运行时间内执行，从而产生运算界限，也是多项式限制的。