Clarkson的2近似加权顶点覆盖算法运行时分析

Question

Clarkson提出的最小加权顶点覆盖问题的一个着名的2近似：

Clarkson，Kenneth L.＆＃34;对顶点覆盖的贪婪算法的修改。＆＃34;信息处理快报16.1（1983）：23-25。

可以找到易于阅读的算法伪代码here，参见第32.1.2节。 根据该论文，该算法的运行时复杂度为O(|E|*log|V|)，其中E是边集，V是顶点集。我不完全确定他们是如何得到这个结果的。

设d（v）为图中的顶点v的度数，w（v）为一些权重函数。 从算法中排除一些技术性，算法如下所示：

while( |E| != 0){ //While there are still edges in the graph
    Pick a vertex v \in V for which w(v)/d(v) is minimized;
    for( u : (u,v) \in E){
        update w(u);
        ...
    }
    delete v and all edges incident to it from the graph.
}

外部循环在运行时复杂性中生成术语|E|。这意味着可以在log n时间内从最小化某个比率的顶点列表中选择一个顶点。据我所知，从值列表中找出最小值需要n-1次比较，而不是log n。最后，内部for循环运行v的每个邻居，因此产生d（v）的复杂性，其由n-1支配。因此，我得出结论，该算法的运行时复杂度为O(|E|*|V|)。 我在这里缺少什么？

Answer 1

将顶点保持在由w（v）/ d（v）排序的平衡二叉搜索树中。找到min是O（log | V |）。每次我们删除边缘uv时，我们必须更新你的密钥（通过删除它并用新密钥将其重新插入树中），这需要时间O（log | V |）。这些步骤中的每一步最多都完成| E |次。