枚举有向图的所有最小有向循环

Question

我有一个有向图，我的问题是枚举所有最小（无法构造为其他周期的并集的周期）此图的有向周期。这与Tarjan算法输出的不同。例如，对于this wikipedia page处的有向图，我想得到c＆lt; - ＆gt; d和d - ＆lt; - ＆gt; h作为两个分开的定向循环。

如果这个问题是多项式的，我不会这样做。我跑过一篇论文“枚举最小Dicuts和强连接子图”，似乎得出结论，这个问题是增量多项式（我不知道它意味着什么），但我无法为本文提取算法。我也不确定最小强连通组件是否等同于我定义它的最小周期。

有人知道这个问题的答案吗？

提前致谢!!!

Answer 1

如果我们正在寻找最短的路径周期，那似乎很容易。

• 只需在搜索从节点到自身的最短路径的所有节点上执行breadth first search。
• 如果找不到路径，则可以删除此节点，无需循环
• 如果你找到一条路径，你已经找到了一个最小的周期（因为我们寻找最短路径，我们可以确保这个周期不能是两个较短周期的并集）。
  • 在一个大的新节点中折叠其中的所有节点，并根据需要调整边缘。

• 继续，直到没有任何节点。

• 当你处理完所有节点（顶点）时，你有最小的周期，你可以寻找...但是有一个技巧。

如果仅使用初始集中的节点表示循环，则可以“保持原样”。但是你必须将“大节点”转换为路径（循环之间的公共边缘），并且每个大节点可以被几个这样的路径替换（对于级别1的大节点至少2个，即不包含大节点本身）。找到的循环是这样构造的，你可以选择任何路径并仍然得到一个最小的循环集（没有循环可以得到另外两个的并集），但是有几种可能的这样的集合。您可以添加约束以在选择大节点中的路径时始终采用最短路径，但仍可以存在相同长度的路径。所以这个问题的解决方案显然不够独特。

使用这种天真的方法，复杂度将是O（V.（E + V）），其中V是顶点数，E是边数。 O（E + V）首先来自广度，最坏的情况是你必须执行BFS V次。因此它肯定是更好的多项式。我相信我所描述的是平均情况下的O（log（V）。（E + V）），但我还没有证明它（如果它是真的）。​​

Answer 2

我们正在寻找所有简单的周期，而不仅仅是最短或最便宜的周期。 （如果简单是正确的术语 - 我指的是不自相交的循环。）

这是一个应该完成工作的广度优先算法：
为节点编号。 在每个节点上放置一个推销员并开始操作： 如果推销员可以选择要采取哪种优势，他会复制自己并采取一切可能的方式。 当他到达一个节点时， 如果它的数量低于他开始时的数量，那么他就死了，如果它是一个人，那么在他记录这个循环并死亡之前他就会被访问过。从列表中删除冗余循环。

我不确定这个的复杂性，但它看起来像O（EV ^ 2）。

修改：
现在我想起来了，你可以通过从编号最小的节点上的一个推销员开始到达O（EV）。当他的所有后代都死了之后，再次与尚未访问过的最低编号节点上的推销员重新开始。重复，直到访问过所有节点。

Answer 3

也许列举独立周期会有所帮助吗？

我会尝试以下方法。

1. 首先，为了找到哪些顶点参与循环，请进行传递闭包。这是一个O（V ^ 3）算法。
2. 删除所有其他顶点。
3. 现在，剩下的图存在完全独立的周期覆盖（这是我的想法的弱点，我不能证明周期是独立的）
4. 它的解决方案是 - “双极图中的最大对匹配”算法。

4.1。将图形（G）中的每个顶点v转换为2（v1和v2），将每个顶点放在两元图（G2）的不同部分。

4.2。对于G中的每个边e（v，u），从G2的第一部分到第二部分添加边 - e（v1，u2）。

4.3。找到G2中的最大对匹配。它是G2边缘的一个子集。

5该子集对应于G中的最大（完整）独立循环集。

Answer 4

这可能为时已晚，无论如何...... 问题有无多项式解决方案，原因很简单：（di）图中可能存在指数级的最小周期。

考虑n/2个大小为2的集合，并按周期排列它们：A_1, ..., A_{n/2}，并使用约定A_{n/2+1}=A_1。当且仅当它们位于连续索引的集合中时，在两个顶点之间放置一条边（因此A_{n/2}中的元素也通过上述约定链接到A_1中的元素）。如果您对有向图而不是简单图感兴趣，请指向边以使其始终指向位于具有较大索引的集合中的顶点，或者在A_{n/2}和A_1的情况下，它指向从A_{n/2}中的顶点到A_1中的顶点。

显然，这个长度为2^{n/2}的图表中有n/2个最小周期，因为每个n/2中只包含一个顶点的所有大小为A_i的子集都是这样一个周期。如果要使用算法列出所有算法，则该算法必须至少执行2^{n/2}步骤。