Question

假设我有一个边缘相对较少的有向图（例如N = 1000个节点，M = 3000个边缘）。我需要枚举从1到N的节点，以便尽可能少的边从较低编号的节点指向较高编号的节点。

例如，这是一个很好的优势：

44 o----------->o 12

这个很糟糕：

 3 o------------> 117

我怎么能解决这个问题？我想这些任务有现有算法，但不知道要搜索什么。此外，我不需要找到绝对最好的解决方案，只需要在实践中足够接近。例如。如果全局最佳是5个坏边缘，那么10个坏边缘的解决方案对我的目的来说也足够了（但是200不是）。

Answer 1

特别是因为你只想要一个好的解决方案，而不一定是最好的，这听起来像马尔可夫链蒙特卡罗方法应该适合你。

从节点的随机枚举E_0开始计算得分S（E_0）
许多步骤
- 每次执行步骤j，通过更改两个节点的数量，从当前E_j获取新的枚举候选E *。
- 计算得分S（E *）。（不要完全计算它是新的，而是从S（E_j）只考虑你改变的两个节点及它们所涉及的边缘）
- 如果S（E *）＆lt; = S（E_j），则将E_j改变为E *。
- 如果S（E *）> S（E_j）仍然将E_j改为E_ *且为正概率，f.e。（S（E_j）/ S（E _ *））^ k其中k影响方式强烈希望你的算法能够惩罚糟糕的选择。

运行此算法时，请跟踪获得的最低分数和实现该分数的枚举。

Answer 2

你必须有来自周期的边缘，所以你首先想要将问题分解为strongly connected components。

请注意，强连接组件的图形是非循环的，这意味着可以轻松比较来自不同组件的两个节点。

然后，您可以尝试在每个循环中搜索循环并“标记坏”一个边缘，这将自己将组件转换为DAG（您可以尝试删除许多循环中常见的边缘，这应该有帮助）。

我不得不承认我不知道这会如何处理坏边缘，但我认为这将是一个很好的方法。