有向图中的负循环

Question

我正在观看关于负面周期的讲座link

在时间5:00，教师描述假设不存在循环的情况。然后他说任何路径都不会包含一个循环，因为如果路径存在循环，则可以显示没有循环的较短路径，并且循环可能只是非负的。

有人可以帮我理解这一点吗？我似乎无法遵循它。

感谢。

Answer 1

2例：

1. 如果图形具有负循环：那么最短路径解决方案是未定义的，因为您可以通过达到负循环并且无限次地遍历它来创建无限负权重的路径。

2. 如果图形没有负循环：那么每个循环都有非负重量。然后，如果存在任何最短路径解决方案，则必须存在一些不包含循环的最短路径解决方案。假设存在具有周期C的最短路径解S.我们知道在这种情况下C具有非负权重。因此，我们可以从S中移除C以获得较低或相等权重S'的路径。继续将此过程应用于S'，直到获得非循环路径P.P的重量不大于S，因此它是最短的路径，并且它是非循环的。

Answer 2

你链接的视频有点吵，但据我了解，非负和周期部分是图上的约束。

如果你有两个顶点和两个边的G（有向图），那么包含一个循环的最短路径将是（如果两个顶点是a，而b和路径是由被访问顶点给出的）

a-b-a-b

所以你可以通过

提供更短的版本

a-b

如果你有四个顶点，例如路径上的第二个末端和第三个顶点之间有一个循环，那么你可以从你的路径中消除它，它会比你继续循环更短。

因此，如果任何路径包含一个或多个圆柱体，由它或它们的元素组成，则它具有较短的形式。

更一般地说，您可以通过找到它的出口顶点来消除循环，该出口顶点必须在路径上至少出现两次，并且您应该删除第一次和最后一次出现以及第一次或最后一次出现之间的通信列表。出口顶点的出现。