Question

已知具有时间复杂度O(n^2)的递归Karatsuba乘法算法比具有复杂度O(n log(n))的简单乘法算法更快。但是，它比“schoolgrade”算法使用更多的内存空间 - O(n)而不是O(n)内存，这对于具有少量内存的控制器或非常小的计算机来说非常关键。

所以，我的问题是：
有没有办法在karatsuba算法中实现O(n log(n))内存空间？

PS：我知道使用FFT可以实现更快的速度O(n)和更好的内存使用public static class URLLinkHelper { public static MvcHtmlString URLLink(this HtmlHelper htmlHelper, string linkText, string url) { TagBuilder tagBuilder = new TagBuilder("a"); tagBuilder.Attributes["href"] = url; tagBuilder.InnerHtml = linkText; return new MvcHtmlString(tagBuilder.ToString()); } }，但我只是对Karatsuba感到好奇。

Answer 1

Karatsuba的算法只需要O（n）空间。

(A0 2^n + B0)(A1 2^n + B1)
= A0 A1 2^(2n) + B0 B1 + ((A0+B0)(A1+B1) - A0 A1 - B0 B1)2^n

这是一个粗略的归纳论证。归纳地，假设使用Karatsuba算法乘以n位数只需要cn空间。要乘以2n位数，我们可以在cn空间中乘以A0 A1，然后在2n空间中保存答案，然后在cn空间中将B0 B1相乘，然后将答案保存在2n空间中，然后乘以（ cn空间中的A0 + B0）（A1 + B1）。此时我们最多使用（c + 4）n个空格。然后我们执行减法并在4n空间中记录答案。峰值空间使用量为（c + 4）n，小于max（c，4）（2n）空间。因此，只要c> 4，如果需要cn空间来乘以n位数，则需要c（2n）空间乘以2n位数。这是不精确的，因为（A0 + B0）和（A1 + B1）可能有n + 1位而不是n。因此，严格的归纳论证更加混乱，但可以遵循相同的基本模式。

问题的前提是错误的。 Karatsuba乘法仅需要O（n）空间，而不是Omega（n log n）。某些实现可能需要更多空间，不一定限于O（n log n），例如，如果您并行执行计算。

事实上，除了答案之外，可以在O(log n) extra bits中进行Karatsuba乘法。

Answer 2

答案是肯定的

可以使用输入数组的N个条目和输出数组的2 * N个条目就地执行“ Karatsuba”算法，从而节省每次递归的额外内存。

在这里查看示例： https://github.com/hselasky/libmbin/blob/master/mbin_multiply_x3.c

-HPS

具有O（n）内存而不是O（n log n）的Karatsuba算法

2 个答案: