Question

在我的算法和数据结构类中，引入了第一个divide-and-conquer algorithm即merge sort。

在实现作业的算法时，我想到了一些问题。

使用分而治之范式实现的算法是否具有O（nlogn）的时间复杂度？
方法中的递归部分是否有能力将运算方式压缩为O（n ^ 2）到O（nlogn）？
是什么让这样的算法首先在O（nlogn）中运行。

对于（3）我假设这与递归树和可能的递归次数有关。有人可能会用一个简单的分而治之算法来运行，该算法在O（nlogn）中运行如何实际计算复杂度？

干杯，安德鲁

Answer 1

我认为你问题的所有答案都可能来自Master Theorem它告诉你几乎任何分而治之的解决方案你的复杂性是什么，是的，它必须用递归来做所有事情树，通过玩参数，你会发现一些分而治之的解决方案不会有O（nlogn）的复杂性，实际上有divide and conquer algorithms that have O(n) complexity。

关于问题2，实际上不可能总是存在一些被认为不可能比O（n ^ 2）更快解决的问题，它依赖于问题的本质。

在O（nlogn）中运行的算法示例，我认为它具有非常简单，清晰且有教育意义的运行时分析MergeSort。可以从以下图片中了解： MergeSort complexity explained

因此，每个递归步骤将输入分成两部分，然后征服部分采用O（n），因此树的每个级别花费O（n），棘手的部分可能是如何可能的数量递归级别（树高）是登录。这或多或少都很简单。因此，在每个步骤中，我们将输入分成2个n / 2个元素，然后递归重复，直到我们有一些恒定大小的输入。所以在第一级我们除了n / 2，在下一个n / 4，然后是n / 8，直到我们达到一个恒定大小的输入，它将是树的叶子，以及最后一个递归步骤。

所以在第i个递归步骤中我们除了n / 2 ^ i，所以让我们在最后一步找到i的值。我们需要n / 2 ^ i = O（1），这是在2 ^ i = cn时实现的，对于某些常数c，所以我们从两边取基数2的对数并得到i = clogn。因此，最后一个递归步骤将是clogn-th步骤，因此树具有clogn高度。

因此，对于每个clogn递归（树）级别，MergeSort的总成本将为cn，这给出了O（nlogn）复杂度。

一般情况下，只要递归步骤具有O（n）复杂度，并且yo分解为大小为n / b的b问题，或者甚至更一般，您可以确信您的算法将具有O（nlogn）复杂度。如果这些部分是n的线性分数，则加起来为n。在不同的情况下，您很可能会有不同的运行时间。

回到问题2，在QuickSort的情况下，人们可能会从O（n ^ 2）到\ Theta（nlogn），因为平均随机情况实现了一个很好的分区，尽管运行时分析比这更复杂