O（n）vs O（nlogn）时间复杂度

Question

我在网上遇到了这个时间复杂的例子，我有点困惑。

x = n
while ( x > 0 ) {
    y = x
    while ( y > 0 ) {
        y = y - 1
    }
    x = x / 2
 }

答案表示为O（n）。我想知道为什么它不是O（nlogn）。我之所以这么说是因为外环看起来是对数的，而内环似乎是线性的。如果y = n（而不是x），时间复杂度THEN是否为O（nlogn）？如果是这样，为什么？

Answer 1

y=y-1传递了多少时间？这将衡量复杂性，对吗？

• 当x = n时，它会经过n次。
• 当x = n / 2时，它会经过n / 2次。
• 当x = n / 4时，它会经过n / 4次。
• ...

因此它通过n + n / 2 + n / 4 ...总计达2n。

因此总复杂度为O（n）。

不要被愚弄，内环是线性的，但不能独立于外环。

Answer 2

内部循环确实是线性的，但每次迭代都不需要n个步骤，但是x步骤为x的当前值迭代减半，这意味着更精细分析是可能的。您高估了内循环的成本。因此，绑定

O(n log n)

也是正确的，但

O(n)

是一个较小的界限。通过推断i - 可以看出较小的界限 内循环的迭代需要

n / 2^i

步骤; O(n)的运行时界限遵循以下事实：分母的总和是geometric series，它收敛于常数2。