O（nlogn）分而治之算法计算矩形联合

Question

我知道有很多与我的问题相关的问题在这里被问到并回答过，但我仍然感到困惑。而且我对计算几何有点陌生，任何建议都会有所帮助。

问题：一组n个矩形，其边缘与x或y轴平行，每个都有相同的长度和高度;每个矩形的四个角点的坐标是已知的，设计一个O（nlogn）时间分而治之算法来计算所有矩形的并集，union表示这些矩形所覆盖的组合区域。

这些矩形可以是不相交的，接触的或重叠的，并且有数千个矩形。输出可以是任何形状（结果可以是内部空心的，如洋葱圈），边界由一组点坐标定义。当我将它们分成两半时，我正在努力研究如何合并这两个子部分。 （我知道如何使用扫描线/扫描平面方法计算联合区域，但不知道如何使用DaC进行计算。）

示例：

Answer 1

让我们像众所周知的merge sort algorithm一样思考。请致电我们的程序UnionShape。假设我们有向量＆lt;形状＆gt;最初的结构大小为n（未排序），因此我们可以将它除以一半并递归地应用UnionShape，给出lg n个级别（让它为k）。如果我们可以详细说明Union程序，那么在每个级别上我们将有O（n）工作，我们将得到总数O（n lg（n））。

想法是，如果形状的角是排序，我们可以详细说明Union过程，这样它需要O（m）时间，其中m是联合形状的角的数量。最初（最低k级 - 在k次递归调用之后）总数为n / 2 ^ k，比如2，矩形的角已经排序。我们有2 ^ k个Union调用，每个角有n / 2 ^ k个角，O（n）。当组合矩形时，我们支持所得形状的角的排序顺序。在下一个级别，我们将有2 ^（k-1）次调用n / 2 ^（k-1）个形状角（最大）等等 - 每个级别给出O（n）比较，我们有lg n个等级，所以我们一共有O（n lgn）。

这就是你的意思，如果你以这种方式完成数据结构和联盟程序，你就可以完成。