我陷入了一个具有挑战性的问题，我读到了我的笔记。
给出了无向，加权和连通图G，（没有negative权重且所有权重都为distinct），我们在此图中知道 <之间的最短路径em>任何 两个顶点在Minimum Spanning Tree（MST）上。 （对于任何一对顶点以及它们之间的任何最短路径，它位于MST上）。以下哪项是True？
1）图G是树。
2）每个 {u，v} 边缘的权重，至少与 u 到 v 。
3）任何两个顶点之间的最短路径 u ， v 是唯一的。
4）假设从顶点
s，Prime（用于计算MST）和Dijkstra（用于计算最短路径）开始，处理并添加 顶点到它们的树中，具有相同的顺序。 （两种算法在处理和添加节点时的顺序相同）
如何验证这些选项？这是一个充满挑战的问题。
答案 0 :(得分：1)
我不想给出完整的答案，但这是你如何处理它：
您是否可以将树[s]添加到树中，使其不再是树，而树仍包含所有最短路径？
如果边缘比最重的边缘短，会发生什么？
令人困惑，因为问题是＆＃34;任何两个顶点之间的最短路径在MST＆＃34;上，但没有解决可能存在多个最短路径的事实。所以你可以假设＆＃34;树上至少有一条最短的路径＆＃34;。在这种情况下，只需通过MST将两个顶点连接到权重等于成本的边缘，就可以得到答案。
同样，如果没有以相同的顺序添加顶点，您应该从发生的事情开始
答案 1 :(得分：1)
没有。例如：V = {1, 2, 3}，E = {(1, 2, 1), (2, 3, 2), (1, 3, 4)}（每个边都编码为元组（一个顶点，另一个顶点，权重））。它不是树，但所有最短路径都在最小生成树上。
是。如果该边缘的重量小于最短路径中最重边缘的重量，则该边缘比最短路径短（因为没有具有负重量的边缘）。因此，最短路径不是最短的。这是一个矛盾。
没有*。假设我们有一个带有两个顶点{1, 2}的图形，它们之间有一条边，零重量。在第一个和第二个顶点（[1, 2], [1, 2, 1, 2], ...）
*但是，在任意两个顶点之间存在唯一的简单最短路径，因为树中任意两个顶点之间只有一条简单路径，任何路径都不完全位于最小跨度中由于问题陈述，树更长，并且图中只有一个具有不同边权重的最小生成树。
没有。考虑这棵树：V = {1, 2, 3, 4}，E = {(1, 2, 3), (2, 3, 2), (1, 4, 4)}。假设起始顶点是1。 Prim的算法将采用第一个顶点，而不是第二个顶点，而不是第三个顶点，并且仅在第四个顶点之后。但是Dijkstra的算法将在第三个顶点之前取第四个顶点。之所以会发生这种情况，是因为第三个顶点在处理前两个顶点之后更靠近树，但是从起始节点到它的总距离更大。