图中两个节点之间最短路径的声明？

Question

如果加权和有向图G上的两个顶点之间的最短路径（可能具有负边缘）由D(u, v)显示，则以下声明始终为假。

  

具有负边缘，但没有任何负循环   D（u，v）上的Sigma（所有顶点对的总和）不能为负。

Why this claims is False? 

  

什么是D(u,v)哪里没有从你到v的路径没有在我的   注意，但在这种情况下我认为D(u,v)=0。

Answer 1

假设D(u,v) = infinity如果没有从u到v的路径（我真的认为没有理由不这样做，在这种情况下假设D(u,v)=0是很奇怪的） ，声称是真的。

<强>证明：

首先，假设每对u,v都有一条路径 - 否则所有对的总和都是无穷大，我们就完成了。

对于每对顶点u,v：

• 如果D(u,v)>0和D(v,u)>0这一对为总和提供正数
• 否则，在不失一般性的情况下，假设为D(u,v)<0。由于没有负周期，D(u,v) + D(v,u) >= 0因此D(v,u) >= -D(u,v)。正如我们所见，D(v,u) + D(u,v)为求和提供了一个非负数。

由于上面的每一对u,v都是如此 - 没有一对可以提供负数，而且总和不能为负数。

<强> QED

Answer 2

  

具有负边，但没有任何负循环，那么D on（u，v）上的Sigma（所有顶点对上的总和）不能为负。

1. D（u，v）= 0 ，无弧u -> v

考虑有向图：

1 -> 2 -> 3

每个弧的成本为-1：没有负成本周期，但所有对的总和为负。所以声称是错误的，因为我们找到了一个反例。

1. D（u，v）=无穷大，无弧u -> v

在这种情况下，如果我们想要找到一个反例，我们必须考虑一个在所有节点对之间有路径的图，否则总和将始终为正，因为我们将添加无限量。

考虑从节点x到节点y的负成本路径。然后，从y到x的路径的费用必须为正，并且D(x, y) + D(y, x)不是负数，否则我们会有一个负循环，这是不允许的。

由于每个负成本路径必须具有正成本（返回路径+初始路径），因此对于这种情况，该陈述为真。