Question

我想考虑以下三个（相关的？）Coq定义。

Inductive nat1: Prop :=
  | z1 : nat1
  | s1 : nat1 -> nat1.

Inductive nat2 : Set := 
  | z2 : nat2
  | s2 : nat2 -> nat2.

Inductive nat3 : Type :=
  | z3 : nat3
  | s3 : nat3 -> nat3.

这三种类型都给出了归纳原则来证明一个命题。

nat1_ind
     : forall P : Prop, P -> (nat1 -> P -> P) -> nat1 -> P

nat2_ind
     : forall P : nat2 -> Prop,
       P z2 -> (forall n : nat2, P n -> P (s2 n)) -> forall n : nat2, P n

nat3_ind
     : forall P : nat3 -> Prop,
       P z3 -> (forall n : nat3, P n -> P (s3 n)) -> forall n : nat3, P n

set和type版本还包含set和type定义的归纳原则（分别为rec和rect）。这是我对Prop和Set之间差异的了解程度; Prop的归纳较弱。

我还读到，虽然Set是预测性的，但Prop是不可预测的，但这似乎是属性而不是定义的质量。

虽然Set和Prop之间的一些实际（道德？）差异是明确的，但Set和Prop之间的确切定义差异以及它们适合类型范围的位置尚不清楚（运行检查Prop和Set给出类型（*（设置）+ 1 *）），我不确定如何解释这个......

Answer 1

Type : Type不一致。

带有排除中间位置的impredicative Set意味着证明不相关，因此具有证据相关性的不可预测Set，例如true <> false，驳斥被排除在外的中间人，直觉主义不应该这样做。

因此，我们在Prop中留下了不确定性，而其他类型层次结构给我们带来了困境。

顺便说一下，

forall P : nat1 -> Prop, P z1 -> (forall n : nat1, P n -> P (s1 n)) -> forall n : nat1, P n

是可证明的。不要问我Coq的好处是什么才能自动证明其他较弱的感应原理...

此外，您是否阅读过this chapter of CPDT？

Answer 2

一个小时之内就读完一遍。这是因为Coq将假定同一个Prop的两个证明对象相等。这是一个公理，称为证明无关紧要。

https://coq.inria.fr/library/Coq.Logic.ProofIrrelevance.html

它只是认为Prop（这里P）上的谓词实际上并不需要传递某些证据作为其论点（或假设）并将其删除。

考虑一下。因为每个nat1都是相同的，所以每当我们尝试证明某个属性P时，我们都可以抽象一些nat1，同时使用公理将其重写为必需的属性。因此，Coq生成了归纳原理的“简化”版本。

要生成“完整”版本，可以使用

Scheme nat1_ind_full := Induction for nat1 Sort Prop.

参考Different induction principles for Prop and Type

Coq：Prop与类型中的设置（n）

2 个答案: