`eqT_rect`

Question

我注意到Coq合成了Prop和Type相等的不同归纳原则。有没有人对此有解释？

平等定义为

Inductive eq (A : Type) (x : A) : A -> Prop :=  eq_refl : x = x

相关的归纳原理有以下几种类型：

eq_ind
 : forall (A : Type) (x : A) (P : A -> Prop),
   P x -> forall y : A, x = y -> P y

现在让我们定义一个等式的挂件：

Inductive eqT {A:Type}(x:A):A->Type:= eqT_refl: eqT x x.

自动生成的归纳原理是

eqT_ind
 : forall (A : Type) (x : A) (P : forall a : A, eqT x a -> Prop),
   P x (eqT_refl x) -> forall (y : A) (e : eqT x y), P y e

Answer 1

注意：我将在所有地方使用_rect原则而不是_ind，因为_ind原则通常是通过_rect实现的的。

的类型

让我们来看一下谓词P。处理归纳族时，P的参数数量等于非参数参数（索引）+ 1的数量。

让我举几个例子（可以很容易地跳过它们）。

自然数字根本没有参数：
```
Inductive nat : Set :=  O : nat | S : nat -> nat.
```
因此，谓词P的类型为nat -> Type。
列表有一个参数化参数（A）：
```
Inductive list (A : Type) : Type :=
  nil : list A | cons : A -> list A -> list A.
```
同样，P只有一个参数：P : list A -> Type。

向量是不同的：

Inductive vec (A : Type) : nat -> Type :=
  nil : vec A 0
| cons : A -> forall n : nat, vec A n -> vec A (S n).

P有2个参数，因为n中的vec A n是非参数参数：

P : forall n : nat, vec A n -> Type

以上解释了eqT_rect（当然，eqT_ind因此而来），因为(x : A)之后的参数是非参数的，P有2个参数：

P : forall a : A, eqT x a -> Type

证明了eqT_rect的整体类型：

eqT_rect
     : forall (A : Type) (x : A) (P : forall a : A, eqT x a -> Type),
       P x (eqT_refl x) -> forall (y : A) (e : eqT x y), P y e

以这种方式获得的归纳原理称为最大归纳原理。

`eq_rect`

的类型

为归纳谓词（例如eq）生成的归纳原则被简化以表示证明不相关（这个术语是简化归纳原理）。

在定义谓词P时，Coq只删除谓词的最后一个参数（它是被定义的类型，它存在于Prop中）。这就是eq_rect中使用的谓词是一元的原因。这个事实塑造了eq_rect：

的类型

eq_rect : 
  forall (A : Type) (x : A) (P : A -> Type),
         P x -> forall y : A, x = y -> P y

我们还可以使Coq为eq生成非简化归纳原理：

Scheme eq_rect_max := Induction for eq Sort Type.

结果类型是

eq_rect_max :
  forall (A : Type) (x : A) (P : forall a : A, x = a -> Type),
         P x eq_refl -> forall (y : A) (e : x = y), P y e

，它与eqT_rect具有相同的结构。

有关详细说明，请参阅教派。 14.1.3 ...... Bertot和Castéran（2004）“交互式定理证明和程序开发（Coq'Art：归纳构造的微积分）”一书中的14.1.6。