Question

我需要一些帮助来理解使用Big Theta Θ表示法的算法分析：

Big O 是比较函数最常用的渐近符号，尽管在很多情况下Big O 可能会被BigThetaΘ替换为渐近更紧的边界。

我将如何逐步分析此算法？我知道最后的答案是Θ（ n ²），但我很难看到它。任何帮助将不胜感激。

为简单起见，您可以假设 n = 2 k ，对于某些正整数 k 。

 int a = 0;
 int i = n * n;
 while (i > 0) {
      for (int j = 0; j < i; j++) {
          a++; 
      }
      i = i/2;
 }

Answer 1

让我们忽略i = n * n一分钟的事实，只考虑算法

while(i > 0)
{
    for(int j=0; j<i; j++)
       { a++; }
    i=i/2;
}

i = i/2说i除以2，四舍五入。在最坏的情况下，没有四舍五入。如果i是2的强项，就会发生这种情况。我们假设i == 16。然后i的值为16, 8, 4, 2, 1。 for循环有i次迭代，因此a++;执行的总次数为16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31。通常，如果i是2的强项，则a++;会2i - 1次。从渐近的角度来看，复杂度因此在i或O(i)中是线性的。

自i == n^2以来，复杂性为O(n^2)。

为了证明它是Theta（n ^ 2），我们必须证明运行时间总是大于n ^ 2的固定倍数。但在这种情况下，我们可以看到a++发生的次数超过n^2的1倍，因为n^2是i的第一个值。

Answer 2

基本上，外部循环控制i的值。每次循环通过时，i除以2。然后，循环的初始值为i，i/2，i/4 ......

内循环包含i次计算。总结一下，得到i + i/2 + i/4 + i/8 + i/16 + ... <= 2 * i。（<=因为我们使用整数除法，它总是<=真值）

所以计算总数<= i == 2 * n * n。

我们还可以看到计算次数>= i = n*n。由于n*n和2*n*n位于上方和下方，因此Big Theta(n^2)

Answer 3

 int a = 0, i=n*n;
 while(i > 0)
 {
      for(int j=0; j<i; j++)
         { a++; }
      i=i/2;
 }

您执行for循环的次数是多少次：

第一次通过while循环，i = n^2

第二次，i/2 = (n2)/2

3，(n2)/4

因此将它们相加得出n^2 + n^2/2 + n^2/4 + ....

倾向于2n^2 = O(n^2)，因为Big O表示法只关注n

的顺序

Answer 4

计算a增加的次数：

n^2 on the first iteration
+
n^2 / 2 on the second iteration
+
...
+
n^2 / 2^k on the (k+1)-th iteration

我们有k = log(n^2) = 2*log(n)，因为我们在每一步都除以2。

因此，我们得到几何级数与第一项n^2，比率1/2和2*log(n)项的总和，或者使事情变得更容易，第一项1和比率2：

S = O(2^(2*log(n))) = O([2^log(n)]^2) = O(n^2)

=> The entire algorithm is BigTheta(n^2)

我将如何在BigThetaθ表示法下分析此算法的形式复杂性？

4 个答案: