解决递归关系的运行时间

Question

我的算法在下面给出，我知道这个算法有一个指数运行时间，但我不知道如何以数学方式显示。有没有人对此有任何想法？

if（n = 1或n = 2）然后返回n

否则 return 2 * RecursiveMNum（n - 1）* RecursiveMNum（n - 2）

Answer 1

正如您所看到的，复杂性取决于调用2 * RecursiveMNum(n - 1) * RecursiveMNum(n - 2)，因为另一个将在O（1）上计算。

因此，您可以使用Substitution解决此问题。

  

T（n）= T（n-1）+ T（n-2）＆lt; 2T（N-1）

现在

  

2T（N-1）= 2（2T（N-2））= 2（2（2T（N-3）））= ... = 2 ^ KT（NK）= ... = 2 ^ NT（0）= O（2 ^ n）的

     

T（0）=Θ（1）（基本情况）

所以你可以说它一般有O(2^n)的复杂性。

Answer 2

正如您所说的 n = 1 ，对函数进行一次调用以获得答案，对于 n = 2 也是如此。拨打 n = 3 的通话次数是 n = 1 的通话次数加上 n = 2 的通话次数。因此，呼叫次数的顺序是 1,1,2,3 ..... 。这确实是 Fibonacci 系列。如果你知道黄金数字的概念，那么这个系列中两个连续数字的比率约为 1.6 （Golden Number），接近黄金数字。
现在，指数序列中的连续比例如 a ^ n 是 a 。在我们的例子中，我们可以说 a 大致约为 1.6 。因此，它确实具有指数增长，即。你可以说它是 O（a ^ n），其中 a 约为 1.6 。您还可以在这里查看第n个斐波那契数的封闭形式：Nth Fibonacci证明该论证具有指数形式。