递归函数的运行时间T（n）

Question

我正在尝试计算此函数的T（n），我得出的是T（n）= T（n）+ T（n）+ O（1）。我有两个递归调用函数g（）的拖曳T（n），然后是所有常数时间操作（如加法）的O（1）。我觉得我已经走了，所以任何帮助都会非常感激，我的数学背景也不太合理。

int g(int y) {
 if (y <= 0) {
  return 1;
 }
 else {
  return g(y - 1) + g(y - 2);
 }
}

Answer 1

计算time complexity的Fibonacci numbers取决于所使用的算法。至少有4种算法用于计算它们（具有不同的时间复杂度）：

O（\phi ^ N）

首先我们提到我们可以通过查看递归斐波那契函数的call graph来解决这个问题。

调用图实际上是一棵树。

我们可以减少一切，找出这棵树有多少个节点。

F（n）的调用图中的节点数具有根和F（n-1）的调用图中的节点数+ F（n-2）的调用图中的节点数）。

我们将用L（n）表示F（n）中的节点数（你会发现字母L不是偶然的）。

如上所述，L（n）= L（n-1）+ L（n-2）+ 1.

但等等，还有更多！事实证明，这些完全 Leonardo numbers并且它们具有一般封闭形式：

（"a(n) is the number of nodes in the Fibonacci tree of order n." A001595）

O（n）的

另一种涉及memoization的算法具有复杂度O（n）（here is an example和another one）。这包括将T（n）的结果存储在一个向量中，并逐步计算n（1）的T（n）直到所需的n。

如果你真的想要真正正确，那么这也不是O（n），因为假设加法的数量成本为O（1），但是......随着F（n）变大，添加两个斐波那契数的成本是O（n）。你可以read more about this here，这是一个很好的阐述。因此，此实现的实际复杂性为O（n ^ 2）。

O（1）

还有另一种复杂度为O（1）的算法，假设您使用arbitrary precision arithmetic或some smart rounding。它来自Binet's formula。有关Binet公式的证明，请参阅使用生成函数的page 13 here上的第1.3节，或者，您可以找到eigendecomposition of the matrix，然后将其用于compute the nth power。 完成后，您的闭合公式将位于第n个幂矩阵的一个单元格中。

如果你想要非常精确，它实际上是O（log（n）），因为那是你用来计算Binet公式的exponentiation by squaring（也称为repeated squaring，二进制供电算法或二进制求幂）

通常我们假设x^n的取幂是O（1），但它不是，它是乘法数的O（log（n））。要非常精确，您必须考虑乘法的成本，这取决于所使用的multiplication algorithm。

这是Binet的公式btw：

以下是Fibonacci sequence looks in matrix form：

的方式

这是通过平方取幂：

更新2015-06-29 ：

O（日志（n））的

还有另一种在O（log（n））中计算Fibonacci数的方法。 有两个身份使用

它们允许基于 F（n），F（n + 1）计算 F（2 * n + 1） F（2 * n）基于 F（n-1），F（n），F（n + 1）。 该算法找到 n 的most significant bit并向下迭代到最低有效位，同时使用沿途的标识来计算斐波纳契数。有一个algorithm here的实现。这两个身份可以在quadratic fieldℚ（√5）中导出（如前一个链接），也可以从上面提到的矩阵的第n和第2n次幂导出（参见第2.5节标题） 计算算法的page 23上的“矩阵方法” 斐波纳契数字很快被“L. L. Holloway”。

Answer 2

递归关系如下：

T（n）= T（n-1）+ T（n-2）+ O（1）

这不符合主定理下的任何情况，因为你的等式中没有T（n / b）形式的术语。

因此，我们必须采取一种略微奇怪的方法：

由于T（n-1），通过上面的定义，将等于T（n-3）+ T（n-2）+ O（1），你可以将T（n）写为：

T（n）= 2T（n-2）+ T（n-3）+ 2 * O（1）

由于T（n-2）= T（n-3）+ T（n-4）+ O（1），我们可以进一步简化T（n）：

T（n）= 3T（n-3）+ 2T（n-4）+ 3 * O（1）

到现在为止，我们应该开始看到一种模式，但是我们只需要采取更好的措施。由于T（n-3）= T（n-4）+ T（n-5）+ O（1）：

T（n）= 5T（n-4）+ 3T（n-5）+ 4 * O（1）

第一项的系数遵循斐波纳契数列的模式。在下一轮中，我们将以8T（n-5）为首要任期。第二个术语也跟随斐波那契序列，因为在下一轮我们将有5T（n-6）。第三个任期正如n那样增长。

所以，既然T（1）只是O（1），你最终会得到：

T（n）= x * O（1）+ y * O（1）+ n * O（1） 其中x是斐波纳契数列中的第n项，y是斐波纳契数列中的第（n-1）项。

从前面的术语来看，你可以看到我们的大O分析基本上只是基于n计算x的公式。

您可以在此处查看该公式：http://www.askamathematician.com/2011/04/q-is-there-a-formula-to-find-the-nth-term-in-the-fibonacci-sequence/

当你应用你的big-O分析时，这将归结为以下几点： O（1.6 ^ N）