Question

我一直在解决一些面试问题，我正在努力确定某些递归函数的运行时间。我正在解决的问题是：

想象一下，机器人坐在X by Y网格的左上角。机器人只能向两个方向移动：向右和向下。多少机器人从（0,0）到（X，Y）的可能路径是什么？

我的解决方案（用Java编写）：

public int totalPossiblePaths(int X, int Y) {
    if(X < 0 || Y < 0) {
        return 0;
    }
    if(X == 0 && Y ==0) {
        return 1;
    }
    return totalPossiblePaths(X - 1, Y) +
           totalPossiblePaths(X, Y - 1);
}

此外，我对这个节目的空间和时间复杂性进行了分析，就大事而言，因为采访需要我知道。我得出结论，空间复杂性是：

O（X + Y）

由于最多会有X个递归调用，后跟Y递归调用，因此最多X + Y函数调用将被推送到堆栈上。

但是，运行时间的复杂性对我来说并不是很清楚。我绘制了递归树，很明显递归（至少）是指数的。我似乎无法确定X和Y之间的关系。

示例递归（没有X＆lt; 0或Y＆lt; 0的调用以提高可读性）：

    F(3, 2) = F(2, 2) + F(3, 1)
            = F(1, 2) + F(2, 1) + F(2, 1) + F(3, 0)
            = F(0, 2) + F(1, 1) + F(1, 1) + F(2, 0) + F(1, 1) + F(2, 0) + F(2, 0)
            = F(0, 1) + F(0, 1) + F(1, 0) + F(0, 1) + F(1, 0) + F(1, 0) + F(0, 1) + F(1, 0) + F(1, 0) + F(1, 0)
            = F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0)

最后一级有10个元素（返回值1），它是从（0,0）到达（3,2）的可能路径数。根据我的直觉，我认为运行时间会相对于X和Y增长：

O（2 ^ X * 2 ^ Y）= O（2 ^（X + Y））

此外，我添加了一个计数器，该计数器随每次递归调用递增，以查看调用该函数的次数。对于上面的示例，函数被调用49次。该函数成功传递了两个if语句24次，并尝试再进行2次递归调用。

这让我更加怀疑自己的直觉。

有人可以帮我分析这个（和类似的）递归函数来确定时间复杂度吗？我不是在寻找你们这些人如何解决这个问题的深度解释，但也许是一些一般的指示或建议？感谢。

Answer 1

当每个summand为S或0时，总和1需要多少个加数？嗯，显然至少S。因此，您的函数至少会进行answer次调用，其中answer是问题的答案。如果你只返回那些，那将是确切的计数，否则处理零。

为了记录，问题的一个很好的解决方案与Pascal's Triangle有很大关系（这个picture可能有帮助）。

Answer 2

有一个更简单的解决方案：要从（0,0）到（x，y），它必须总共采取x + y步。在那些你必须选择x水平步骤的位置，你可以用二项式（x + y，x）方式。

Answer 3

整蛊，每个问题都不一样。从一个电子表格开始，该电子表格计算调用问题的调用次数。

如果您从X = Y＆gt;开始0，做递归调用X + Y级别深度，然后有2 ^（X + Y）种方式可以选择两个递归调用。许多方法不会深入X + Y水平，因为X或Y变为负数。但是如果你按照每个呼叫路径进行相同的次数，那么你将深入到X + Y级别。有（超过X的2倍）方法，大约是2 ^（X + Y）/ sqrt（pi X）。

具有两个输入的递归函数的运行时间

3 个答案: