Big-O for-loop运行时分析

Question

 int n = 500;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < i; j++)
            sum++;

我的猜测是这只是一个O（N ^ 2），但是j＆lt;我在怀疑你。

int n = 500;
     for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < i*i; j++)
            sum++;

好像是O（N ^ 3）

  int n = 500;
     for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < i*i; j++)
            if( j % i == 0 )
               for( k = 0; k < j; k++ )
                  sum++

O（N ^ 5）？

因此，对于每个循环，j具有不同的值。如果是j＆lt; n * n，它会更直接，但这个是一个棘手的，所以请帮助。谢谢。

Answer 1

在第一种情况下sum++执行0 + 1 + ... + n-1次。如果您应用arithmetic progression公式，则会获得n (n-1) / 2 O(n^2)。

在第二种情况下，我们会0 + 1 + 4 + 9 + ... + (n-1)^2，这是第一个n-1数字的平方和，并且a formula为(n-1) n (2n-1)：{{1} }}

最后一个很有意思。实际上，您可以看到，只有当for是j的被乘数时，才会调用最嵌套的i循环，因此您可以按如下方式重写程序：

int n = 500;
for(int i = 0; i < n; i++) {
   for(int m = 0; m < i; m++) {
       int j = m * i;
       for( k = 0; k < j; k++)
             sum++
   }
}

使用数学符号更容易：

公式是通过分析从代码派生的：我们可以看到sum++在最内层循环中被称为j次，称为i次，称为n 1}}次。最后，问题归结为首先n个数字加上低阶项（不影响渐近）的多维数据集的总和

最后一点注意事项：它看起来很明显，但我想表明N d中Ω(N^(d+1))自然数的一般总和为Θ(N^(d+1))（参见维基百科）对于Big-Omega notation），即它的增长速度不比该函数慢。您可以应用相同的推理来证明满足更强的条件，即它属于Ω，它结合了O和{{1}}。

Answer 2

除最后一个之外的所有人都是正确的，它具有更紧密的O(n^4)范围：请注意，只有当for是{{的倍数时才执行最后一个j循环1}}。 i的{​​{1}}倍数低于或等于x / i和i。因此，最后一个循环仅针对x中的i * i / i = i值执行。

请注意，big-oh给出了上限，因此i vs i * i没什么区别。严格地说，他们都是i*i也是正确的（因为这是一个有效的上限），但它几乎没有帮助，所以在实践中通常使用紧束缚。

Answer 3

IVlad已经给出了正确答案。

我觉得让你感到困惑的是＆＃34; Big Oh＆＃34;定义。

• N ^ 2具有O（N ^ 2）
• 1 / 2N ^ 2具有O（N ^ 2）
• 1 / 2N ^ 2 + c * N + b也有 O（N ^ 2） - 由给定的c和b是独立于N的常数

从here

检查Big Oh定义