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我只想帮助解决合并的第一个问题，并自己完成第二部分。我理解归纳的第一部分证明了算法对于最小的情况是正确的，即如果X是空的而另一个是如果Y是空的，但我不完全理解如何证明第二步归纳：显示合并是正确的，输入大小为k + 1。
我之前已经在方程式上进行了归纳，从未在算法上进行过归纳。
谢谢！
答案 0 :(得分：5)
第一个假设：您使用的合并例程将两个已排序的数组合并为一个已排序的数组。 第二个假设：合并例程终止
现在我们需要证明归纳步骤是正确的。
合并排序将数组拆分为两个子阵列L = [1,n/2]和R = [n/2 + 1, n]。根据上述事实，看ceil(n/2)小于k。通过我们的归纳假设，L和R的合并排序结果都被正确排序（因为它们在[1,k]范围内）。此外，从我们的假设合并例程将它们合并到一个排序数组，其中包含所有元素，因为size(L) + size(R) = n所以这意味着它正确地排序了一个大小为n = k+1的数组。
@Edit：对不起，想念。对于合并部分：
在这里，我们将有一个多维感应。
假设：输入数组X，Y已经排序
对于X的第一个诱导步骤，我们有2个案例，除了基本情况：
X[1] ⊕ merge(tail(X), Y) =＆gt;这是正确的，因为merge(k, size(Y))根据我们对X的假设是正确的，我们将较小的元素放在前面，所以我们保持顺序Y[1] ⊕ merge(X, tail(Y)) =＆gt;这里我们有两个选择：
size(tail(Y)) = 0 =＆gt;我们打了一个基础案例，因此这个案例被证明是正确的size(tail(Y)) > 0 =＆gt;我们进一步推断最终达到基本情况或merge(tail(X), subarray(Y)) size(tail(X)) = k =＆gt;我们的归纳假设证明了这一点类似于Y的诱导步骤：
Y[1] ⊕ merge(X, tail(Y)) => this is true by our hypothesis合并（size（X），l）`为真，我们将较小的元素放在前面X[1] ⊕ merge(tail(X), Y) =＆gt;这里我们有两个选择：
size(tail(X)) = 0 =＆gt;我们打了一个基础案例，因此这个案例被证明是正确的size(tail(X)) > 0 =＆gt;我们进一步推断最终达到基本情况或merge(subarray(X), tail(Y)) size(tail(Y)) = l =＆gt;我们的归纳假设证明了这一点算法终止，因为我们正在使每个步骤中的一个数组减少1个元素，因此其中一个最终将达到我们的基本情况