如何找到覆盖R中一组点的给定部分的最小椭圆？

Question

我想知道：是否有一些功能/巧妙的方法来找到覆盖R中一组2d点的给定部分的最小椭圆？ With 最小我指的是面积最小的椭圆。

澄清：如果点数很大，我可以使用近似正确的解决方案（因为我猜一个确切的解决方案必须尝试所有点的子集组合）

这个问题可能听起来像是问题Ellipse containing percentage of given points in R的重复，但问题的表达方式得出的答案并不会产生最小的椭圆。例如，使用Ellipse containing percentage of given points in R给出的解决方案：

require(car)
x <- runif(6)
y <- runif(6)
dataEllipse(x,y, levels=0.5)

得到的椭圆显然不是包含一半点的最小椭圆，我猜，它是一个小椭圆，覆盖左上角的三个点。

Answer 1

我想我的解决方案需要两个函数，cov.rob包中的MASS和ellipsoidhull包中的cluster。 cov.rob(xy, quantile.used = 50, method = "mve")找到大约最好的＆＃34; xy中包含在最小体积椭圆中的2d点总数中的50个点。但是，cov.rob并不直接返回此椭圆，而是从最佳点估计的其他椭圆（目标是稳健地估计协方差矩阵）。为了找到实际的最小椭圆，我们可以给ellipsoidhull找到最小椭圆的最佳点，我们可以使用predict.ellipse来找出定义椭圆外壳的路径的坐标。

我不是100％肯定这种方法最简单和/或它100％工作（感觉应该可以避免使用ellipsoidhull的秒步骤，但我havn没弄明白。）。它至少在我的玩具示例中起作用....

足够说话，这是代码：

library(MASS)
library(cluster)

# Using the same six points as in the question
xy <- cbind(x, y)
# Finding the 3 points in the smallest ellipse (not finding 
# the actual ellipse though...)
fit <- cov.rob(xy, quantile.used = 3, method = "mve")
# Finding the minimum volume ellipse that contains these three points
best_ellipse <- ellipsoidhull( xy[fit$best,] )
plot(xy)
# The predict() function returns a 2d matrix defining the coordinates of
# the hull of the ellipse 
lines(predict(best_ellipse), col="blue")

看起来很不错！您还可以检查ellipse对象以获取更多信息

best_ellipse
## 'ellipsoid' in 2 dimensions:
##  center = ( 0.36 0.65 ); squared ave.radius d^2 =  2 
##  and shape matrix =
##         x      y
## x 0.00042 0.0065
## y 0.00654 0.1229
##   hence, area  =  0.018 

这是一个方便的函数，它将椭圆添加到现有的基本图形图中：

plot_min_ellipse <- function(xy, points_in_ellipse, color = "blue") {
  fit <- cov.rob(xy, quantile.used = points_in_ellipse, method = "mve")
  best_ellipse <- ellipsoidhull( xy[fit$best,] )
  lines(predict(best_ellipse), col=color)
}

让我们在更多的点上使用它：

x <- runif(100)
y <- runif(100)
xy <- cbind(x, y)
plot(xy)
plot_min_ellipse(xy, points_in_ellipse = 50)

Answer 2

这听起来非常像2D置信区间。试试http://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/cluster/html/ellipsoidhull.html。您可能需要在N个点的每个组合上运行它，然后选择最小的结果。