问题

想象一下，我们在平面上有一组S矩形，所有矩形的边都与坐标轴平行（没有旋转）。对于我的问题，我们假设矩形交叉点非常常见。但它们也非常好：如果两个矩形相交，我们可以假设其中一个总是完全包含另一个。所以没有＆＃34;部分＆＃34;重叠。

我希望以下列方式存储这些矩形：

我们可以有效地添加新的矩形。
给定一个查询点（x，y），我们可以有效地报告包含该点的最小区域的矩形。

插图提供了后者的动机。我们总是希望找到包含查询点的最深嵌套矩形，因此它始终是最小区域之一。

我的想法

所以我知道R-Trees和Quad-Trees都经常用于空间索引问题，实际上两者在某些情况下都可以正常工作。 R-Trees的问题在于它们在最坏的情况下会降低到线性性能。

我考虑过基于嵌套构建一组平衡二叉树。节点r的左子树包含矩形r内的所有矩形。右子树包含r所在的所有矩形。图示的例子将有三棵树。

但如果没有嵌套的矩形怎么办？然后你需要1个元素的O（n）树，并且我们再次拥有的东西与通过盒子的线性扫描一样差。

我怎么能以最坏情况下渐近子线性时间的方式解决这个问题？即使这意味着在最佳情况或存储要求中牺牲一些性能。（我认为对于这样的问题，可能需要维护两个数据结构并且很酷）

我确信允许矩形交叉的非常具体的方式应该有助于解决这个问题。事实上，它对我来说似乎是对数性能的候选者，但我只是没有到达任何地方。

提前感谢您的任何想法！

Answer 1

我建议每个嵌套级别存储矩形，并处理每个级别的矩形查找。一旦找到了该点所在的顶级矩形，您就可以查看该矩形内的第二级矩形，使用相同的方法找到该点所在的矩形，然后查看第三个等级，等等。

为了避免O（n）找到矩形的最坏情况，你可以使用一种三元空间树，在那里你重复在空间上绘制一条垂直线并将矩形分成三组：左（蓝色），与（红色）相交的那些，以及与线的右（绿色）相交的那些。对于交叉矩形组（或者一旦垂直线与大多数或所有矩形相交），您切换到水平线并将矩形划分为线上方，相交和下方的组。

然后，您将反复检查该点是在线的左侧/右侧还是上方/下方，然后继续检查同一侧的矩形和线相交的矩形。

在该示例中，实际上只需要检查四个矩形以找到包含该点的矩形。

如果我们在示例中对矩形使用以下编号：

然后三元空间树将是这样的：

Answer 2

您可以沿着矩形的边缘将区域从xMin划分为xMax，将yMin划分为yMax。这最多给出（2n-1）^ 2个字段。每个字段要么完全为空，要么由可见（部分）单个矩形占据。现在，您可以轻松创建一个带有指向顶部矩形的链接的树结构（例如，计算x和y方向上的分区数，其中中间有更多的分隔并创建节点...递归执行）。因此查找将采用亚线性的O（log n ^ 2）。数据结构占用O（n ^ 2）空间。

在复杂性方面，这是一个更好的实现，因为索引的搜索可以分开，顶部的矩形搜索只有O（log n），无论矩形的配置如何和公平易于实施：

private int[] x, y;
private Rectangle[][] r;

public RectangleFinder(Rectangle[] rectangles) {
    Set<Integer> xPartition = new HashSet<>(), yPartition = new HashSet<>();
    for (int i = 0; i < rectangles.length; i++) {
        xPartition.add(rectangles[i].getX());
        yPartition.add(rectangles[i].getY());
        xPartition.add(rectangles[i].getX() + rectangles[i].getWidth());
        yPartition.add(rectangles[i].getY() + rectangles[i].getHeight());
    }
    x = new int[xPartition.size()];
    y = new int[yPartition.size()];
    r = new Rectangle[x.length][y.length];
    int c = 0;
    for (Iterator<Integer> itr = xPartition.iterator(); itr.hasNext();)
        x[c++] = itr.next();
    c = 0;
    for (Iterator<Integer> itr = yPartition.iterator(); itr.hasNext();)
        y[c++] = itr.next();
    Arrays.sort(x);
    Arrays.sort(y);
    for (int i = 0; i < x.length; i++)
        for (int j = 0; j < y.length; j++)
            r[i][j] = rectangleOnTop(x[i], y[j]);
}

public Rectangle find(int x, int y) {
    return r[getIndex(x, this.x, 0, this.x.length)][getIndex(y, this.y, 0, this.y.length)];
}

private int getIndex(int n, int[] arr, int start, int len) {
    if (len <= 1)
        return start;
    int mid = start + len / 2;
    if (n < arr[mid])
        return getIndex(n, arr, start, len / 2);
    else
        return getIndex(n, arr, mid, len - len / 2);
}

Answer 3

几乎任何索引都可以降级到最坏情况O（n）。

问题是，您是否会有这样的有害数据，以及您是否针对最坏情况或实际数据进行优化。

考虑n个相同大小，重叠的矩形，以及交叉点中的一个点......在这里你将没有太多机会进行优化。

R树是一个非常好的选择。您可以执行优先搜索，并选择较小的矩形。

但是您的草图表明您的矩形通常可以嵌套，而不是重叠。标准的R-tree不能很好地处理这个问题。相反，您可能需要将R树修改为使用这个结构，并且只将嵌套的矩形存储为父级的一部分。

Answer 4

PH-Tree怎么样？ PH-Tree基本上是四叉树形状，如四叉树，但具有一些独特的属性，可能是您的理想选择，例如非常有效的更新和小矩形的高可能性。

基础：

PH-Tree是一个位级尝试，这意味着它在每个位位置都会分割。这意味着，对于64位浮点数据，树的最大深度为64。
树是隐含的z-ordered
查询速度通常与R * Tree或STR-Tree相当，对于您的情况，它可能会快得多，请参见下文。
插入/删除速度等于或高于STR-Trees，并且比我所知道的任何其他R-Tree类型更好。
树形仅由数据决定，而不是由插入顺序决定。这意味着永远不会有任何昂贵的再平衡。实际上，树保证任何插入或删除都不会影响两个以上的节点（具有子/父关系）。

存储矩形：PH-Tree只能存储数据向量，即。点。为了存储（轴对齐）矩形，默认情况下它采用“左下”和“右上角”，但这些是单向量。例如，2D矩形（2,2） - （4,5）被存储为4维向量（2,2,4,5）。这可能并不明显，但是这种表示仍然允许有效的查询，例如窗口查询和最近邻查询，查看一些结果here以及更多解释here。

树不能直接存储两次相同的矩形。相反，您可以将计数器与每个“键”相关联。对于具有'n'个相同矩形的特殊情况，这实际上具有以下优点：结果树将仅包含一个键，因此可以在几乎恒定的时间内确定与最小矩形的重叠。

查询性能：从性能结果可以看出，PH-Tree（取决于数据集）最快，小查询窗口返回的结果很少（here，图16）。我不确定性能优势是否与小查询窗口大小或小结果大小相关。但如果它连接到第一个，那么你的查询应该非常快，因为基本上你的查询窗口就是一个点。

优化小矩形大小：由于将矩形编码为单个向量，最小的矩形很可能（保证??）位于同一个叶节点中，该节点也包含您的搜索点。通常，查询以z顺序遍历，因此要利用小矩形的局部性，您需要编写特殊查询。这应该不难，我想我可以简单地使用PH-Tree k-nearest-neighbor实现并提供自定义距离函数。当前kNN开始于使用搜索点定位节点，然后扩展搜索区域，直到找到所有最近邻居。我相信使用自定义距离函数应该足够了，但你可能需要做一些研究来证明它。

上面的链接中提供了PH-Tree的完整代码（Java）。为了进行比较，您可能想要查看我的其他索引实现here（R * Tree，quadtrees，STR-Tree）。

找到覆盖查询点的最小区域矩形

问题

我的想法

4 个答案: