Question

有：

输入数组A[1...n]
N A

算法：

for(int i=N; i>0; i--) { // Loop 1
    for(int j=1; j<N; j=j*2) { // Loop 2
        for(int k=0; k<j; k++) { // Loop 3
            // constant number of operations
        }
    }
}

我知道循环1的时间复杂度为O(N)。

For循环2我会说时间复杂度为O(logN)。

循环和3（以及2如果我错了）和算法的复杂性是什么？

Answer 1

<强> O（N ^ 2）

由于j和k（k<j）的相互依赖性，您无法分别考虑loop2和loop3。设N=2^m，以简化计算。因此，j将为1,2,4，...，2 ^（m-1），并且每次到达时loop3执行j次。所以组合的loop2和loop3执行

  1   + 2   + 4   + ... + 2^(m-1)
= 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(m-1)

这是Geometric Progression，等于2^m - 1 = N - 1，即O（N）。现在抛出loop1，O（N），我们得到O（N ^ 2）。

编辑：

这是我为测试这个

而运行的perl代码

print "N\tExpected\tCounted\n";

for my $N (10, 100, 1024, 8192)
{
    my $count = 0;
    for(my $i=$N; $i>0; $i--)
    {
        for(my $j=1; $j<$N; $j*=2)
        {
            for(my $k=0; $k<$j; $k++)
            {
                $count++;
            }
        }
    }
    my $expected_count = $N*$N - $N;
    print "$N\t$expected_count\t$count\n";
}

输出：

N       Expected        Counted
10      90              150
100     9900            12700
1024    1047552         1047552
8192    67100672        67100672

请注意，除非N=2^m，否则我们不会完全达到预期目标。

Answer 2

对于k，循环执行2,4，...，N或N-1次，具体取决于N是偶数还是奇数，因此三个循环的时间复杂度为O（n logn < / EM> N）。

编辑：感谢Degustaf。我搞砸了，发现k循环依赖于j循环，所以for（j）循环的时间复杂度是max（O（n），O（logn））=上）。

再次编辑：考虑j循环和k循环作为一个整体，它执行2 + 4 + ... + N次，并且项目数是logN。 j循环和k循环的时间复杂度是Degustaf写的：O（N）。

我认为max（O（n），O（logn））的原因：当达到k循环执行N次的点时，for j循环执行了logN-1次。在之前的执行期间，k的执行时间可以被认为是非常小的，比如N / 2，N / 4 ..，2这样的常量。所以最后的N次k循环被认为是在j循环执行（logN-1）次之后执行。

这三个for循环的复杂性是多少？

2 个答案: