给出一个简单的函数，使得和S（n）是O（f（n））？

Question

一直困扰着这个家伙。

考虑和S（n）=ΣLog（i）。给出一个简单的函数f（n），使得和S（n）为O（f（n））。解释原因。

（sigma从i = 1开始，到n结束）

我该怎么做？请逐步解释。

Answer 1

仅仅因为log是单调的：

sum[i=1..n]log(i) <= sum[i=1..n]log(n) = n*log(n)

所以O(n*log(n))

并确认我们无法改善这种限制：

sum[i=1..n]log(i) >= sum[i=n/2..n]log(i) >= sum[i=n/2..n]log(n/2) = (n/2)*log(n/2)

所以Omega(n*log(n))

Answer 2

可以使用任何限制上述Log（n）的函数g（n）。实际上，Log（n）= O（g（n））意味着S（n）= O（f（n））其中f（n）=Σg（i）。

例如g（n）= n使用三角数公式确定S（n）= O（n²）。

如果你想要一个紧束缚，你可以注意到ΣLog（i）= Log（n！），然后使用Stirling formula。

如果不允许使用斯特林公式，请取Lg（i）的最大值（基数2对数）。它们遵循常规模式，从1开始： 0,1,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5，5,5,2,5,3,5,3,5,4,5,4,5,4,5,4,5,4,5,4,5,4,5,4,5,4,5,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,5,5,5,5,5,5 ......

每次运行的长度加倍，因此n的总和不超过Lg（n）个不同的运行，并且总和受n.ceiling（Lg（n）+1）的限制。

推理对自然对数有效，因为所有对数都是成比例的：Log（i）= Lg（i）/ Lg（2）。

ΣLog（i）= O（n.Log（n））。

Answer 3

从此link中查看此内容。

@Yves Daoust钉出总和值。简而言之（当n = 16，基数= 2时）：

0 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 1 +（2 * 2）+（4 * 3）+（ 8 * 4）。

用base＆gt; = 3测试它以更清楚地看到模式（了解上面的封闭形式）。