Question

假设我想在1到N的范围内找到n个不同的数字，以便它们的和等于N.

n = 3, N = 10: the numbers will be (2, 3, 5);
n = 4, N = 10: the numbers will be (1, 2, 3, 4).

虽然找出这个问题的所有可能组合将需要指数时间，但我正在寻找“最小”组合，即最大数字是最小的。例如，

在n = 4, and N = 12的情况下，(6, 3, 2, 1) and (5, 4, 2, 1)都可以作为解决方案，但我只对(5, 4, 2, 1)感兴趣。

对于这个问题，是否会有一个具有更好时间复杂度的算法？我听说过对数合并，但不知道如何在这里应用。

如果需要指明问题的任何细节，请告诉我。总是，任何帮助都将非常感激。

Answer 1

这个问题有一个简单的贪婪算法。

首先，有n个元素按升序排列，为了使它们不同，每个元素应该比其前一个元素大至少一个。

所以，我们有

1, 2, 3 ... , n

现在，所有n号码的总和为n*(n + 1)/2

剩下的是left = N - n*(n + 1)/2

为了使最后一个元素尽可能小，我们需要将left差异分散到所有数字

所以，我们有

1 + left/n, 2 + left/n, ..., n + left/n

如果left % n != 0，我们只需要在最后left % n元素中添加额外的1。

注意：如果N < n*(n + 1)/2，则没有解决方案

示例：

因此，对于n = 4且N = 12

First, we start with

1, 2, 3, 4

left = 12 - (4*5/2) = 2

So, now we have

1 + (2/4), 2 + (2/4), 3 + (2/4), 4 + (2/4) = 1, 2, 3, 4

As left % n = 2
Finally, we have

1, 2, 3 + 1, 4 + 1 = 1, 2, 4, 5

类似地，对于n = 3，N = 10

First, we start with

1, 2, 3

left = 10 - (3*4/2) = 4

So, now we have

1 + (4/3), 2 + (4/3), 3 + (4/3) = 2, 3, 4

As left % n = 1
Finally, we have

2, 3, 4 + 1 = 2, 3, 5

伪码，时间复杂度O（n）

int[]result = new int[n];
int left = N - n*(n + 1)/2;

for(int i = 0; i < n; i++){
    result[i] = i + 1 + left/n;
    if(i >= n - (left % n)){//Add extra one for last left % n elements
        result[i]++;
    }
}
return result;

Answer 2

我们假设您有一个功能f(n, N, sum) - 它将返回结果，该结果将显示从n范围内1获取N元素的可能性总结为sum。

至少现在您可以确定解决方案是否存在，只需调用f(n, N, N)。

让我们说对于给定的n，N和sum，问题p(n,N,sum)有一个解决方案，x是最小的结果中的数字。然后问题p(n',N',sum')与n'=n-1，N'=x-1，sum'=sum-x也应该有一个解决方案。问题p(0,N,0)总是有一个解决方案，它是归纳的基础。

函数f(n, N, sum)实际上会返回范围x到1的最小数字N，它可以是解决方案的一部分（否则它应该返回-1或表示解决方案缺席的事情）。我们可以尝试1到N的每个号码作为x，并检查f(n - 1, x - 1, sum - x)是否有解决方案。

这里的关键是使用 memoization 以便不多次计算相同的功能。记得发现x。记住每个可能的输入组合最多需要O(n * N * N)个空间和相同的O(n * N * N)时间来计算。此外，如果sum>N*(N+1)/2我们可以立即修剪此类电话，则无法解决问题。这是多项式时间/空间复杂度，优于指数。

Answer 3

让我们尝试解决问题，假设我们在[1，N]之间有n个不同的数字。什么是最小可能总和，它将是前n个自然数的总和，即

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

可能的最大数量为

(N-n+1) + (N-n+2) + (N-n+3) + ... + (N-n+n)

注意可以使用n个数字
来计算最小值和最大值之间的总和

现在，检查值是否可行，我们可以做到。假设我们将数字1加到n。当前总和 S 等于

S = 1 + 2 + ... + n

如果我将x添加到每个元素，它将成为

S = 1 + 2 + ... + n + x*n <= N

如果我们选择最大可能的x，那么通过从最大值开始向所有数字添加1个元素直到达到所需的总和（即最多n-1个数字），可以得到总和。这将给我一个有效的答案。

所以如果答案可能就是

从1到n
将x添加到每个元素
从最大数字继续加1直到达到总和

Answer 4

这几乎可以立即计算出来。答案总是看起来像是以N/n为中心的一组数字，或者是一组基本上具有相同中心的数字，中间位置为1。

因此，计算中间值，然后计算是否需要和差距。然后你就完成了。

如果n是奇数，那么中间是N/n（假设整数除法），向右移动1，以考虑余数。因此，例如，如果N为10000且n为17，则中间为588，您的起始范围为588±（17-1）/ 2，即580-596。但余下的是4，所以转换4，你的回答是580-592,594-597。

如果n中间是半数的话。所以中间是(N-n/2)/n + 0.5。因此，例如，如果N为10000且n为18，则中间值为555.5，起始范围为555.5±（18-1）/ 2，即547-564。但是那个师的余数为1，所以我们得到了547-563,565的答案。

区分n个数，使得和等于N.

4 个答案: