计算二项式系数的递归算法的时间复杂度

Question

我正在研究算法复杂性分析。我有不整合的问题或C(n, k)。

int C(int n, int k){
   if(n==k || k==0)
     return 1;
   return C(n-1, k) + C(n-1, k-1);
}

如何确定其执行复杂性或T(n)？

Answer 1

您正在寻找的复发是

  

T（n，k）= T（n-1，k）+ T（n-1，k-1）+ O（1），其中T（n，n）= T（n，0）= O （1）

显然，每一步减少一个n。如果我们忽略（只是暂时）存在参数k，基本上每个步骤的调用次数加倍。这种情况发生了n次，直到n = 1.现在C（1，k）返回1.因此，您最多调用C（n，k）2 ⁿ 次。所以C（n，k）在O（2 ⁿ ）中。

现在我们记住了k。什么是k的最坏情况？也许k = n / 2（对于偶数n）。你可以看到你需要至少n / 2步，直到k达到1或n在任何递归调用中达到n / 2。因此，呼叫次数增加了至少2次 ^{n / 2} 次。但是还有更多的电话。写下来是相当多的工作。

修改1 所以让我们来看看这张图片

你开始调用C（n，n / 2）（n = 6）。灰色三角形是包含在n / 2“步”中的部分，直到到达角落（C（n，0）或C（n，n））第一个。但正如你所看到的，还有更多的电话。我标记了调用，其中递归停止了一个蓝色框并写了一个特殊的C（n，k）被调用，带有绿色数字。

编辑2 C（n，k）的值和返回值1的C（n，k）的调用次数是相同的，因为该函数仅返回值1（或递归调用的结果）。 在示例中，您会看到蓝色框中写入的绿色数字的总和（即调用次数）总计为20，这也是C（6,3）的值。

编辑3 由于一个C（n，k）调用中的所有操作都在O（1）中运行（常量时间），因此我们只需计算调用以获得复杂性。注意：如果C（n，k）包含在O（n）中运行的操作，我们必须将调用次数乘以O（n）以获得复杂性。

您还会注意到与Pascal's triangle的连接。

一个小技巧

算法C（n，k）通过加1来计算Binomial coefficient。通过使用Stirling's approximation，您可以看到，C（n，n / 2）≈2 ⁿ / sqrt（n）（为简化省略了一些常量）。 因此算法必须添加许多1，因此它的复杂度为O（2 ⁿ / sqrt（n））。