Question

我比较了两种算法来计算二项式系数C（n，k），如下所示：＃1来源于要计算的二项式系数的公式定义，＃2使用动态规划。

#include <stdio.h>
#include <sys/time.h>

#define min(x, y) (x<y?x:y)
#define NMAX 150    

double binomial_formula(int n, int k) {
  double denominator=1, numerator=1, i;
  for (i = 0; i< k; i++)
    numerator *= (n-i), denominator *= (i+1);
  return numerator/denominator;
}

double binomial_dynamic_pro(int n, int k) {
  double c[NMAX][NMAX];
  int i,j;
  for (i = 0; i <= n; i++) {
    for (j = 0; j <= min(i, k); j++) {
      if (i == j || j == 0)
        c[i][j] = 1;
      else
        c[i][j] = c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
    }
  }
  return c[n][k];
}

int main(void) {
  struct timeval s, e;
  int n = 50, k = 30;
  double re = 0;
  printf("now formula calc C(%d, %d)..\n", n, k);
  gettimeofday(&s, NULL);
  re = binomial_formula(n, k);
  gettimeofday(&e, NULL);
  printf("%.0f, use time: %ld'us\n", re,
         1000000*(e.tv_sec-s.tv_sec)+ (e.tv_usec-s.tv_usec));

  printf("now dynamic calc C(%d, %d)..\n", n, k);
  gettimeofday(&s, NULL);
  re = binomial_dynamic_pro(n, k);
  gettimeofday(&e, NULL);
  printf("%.0f, use time: %ld'us\n", re,
         1000000*(e.tv_sec-s.tv_sec)+ (e.tv_usec-s.tv_usec));
  return 0;
}

我使用gcc进行编译，它会像这样运行：

now formula calc C(50, 30)..
47129212243960, use time: 2'us
now dynamic calc C(50, 30)..
47129212243960, use time: 102'us

这些结果对我来说意外。我认为动态编程应该更快，因为它O(nk)，但公式的方法应该是O(k^2)并且它使用乘法，它也应该更慢。

那么为什么动态编程版本要慢得多呢？

Answer 1

所写的

binomial_formula绝对不是O(k^2)。它只有一个大小为k的循环，使其成为O(k)。您还应该记住，在现代架构中，内存访问的成本使任何单个指令的成本相形见绌，而动态编程解决方案会在内存中读写更多地址。第一个版本可以完全在几个寄存器中计算。

请注意，您可以通过识别C（n，k）== C（n，n-k）来实际改进线性版本：

double binomial_formula(int n, int k) {
  double delominator=1, numerator=1, i;
  if (k > n/2)
      k = n - k;
  for (i = 0; i< k; i++)
    numerator *= (n-i), delominator *= (i+1);
  return numerator / delominator;
}

你应该记住，动态编程只是一种技术而不是银弹。它并没有神奇地使所有算法更快。

Answer 2

第一个算法

需要线性时间
使用恒定的空间

第二种算法

采取二次时间
使用二次空格

就时间/空间而言，第一种算法更好，但第二种算法也具有为较小值计算答案的优势;它可以用作预处理步骤。

想象一下，您会收到一些n k形式的查询，并要求您为每个查询n choose k。此外，假设查询的数量很大（比如n*n左右）。使用第一个算法需要O(nq) = O(n*n*n)，而使用第二个算法需要O(n*n)。

所以这一切都取决于你想要做什么。

不同二项式系数算法的效率比较

2 个答案: