Question

我刚看到这个问题而不知道如何解决它。你可以请我提供算法，C ++代码或想法吗？

这是一个非常简单的问题。给定N和K的值，您需要告诉我们二项式系数C（N，K）的值。您可以放心，K <= N且N的最大值是1,000,000,000,000,000。由于该值可能非常大，因此您需要以1009计算结果模数。   输入

输入的第一行包含测试用例T的数量，最多为1000.下一个T行中的每一行由两个空格分隔的整数N和K组成，其中0 <= K <= N且1＆lt; ; = N <= 1,000,000,000,000,000。   输出

对于每个测试用例，在新行上打印，二项式系数C（N，K）的模数为1009。   实施例

输入：
  3
  3 1
  5 2
  10 3

输出：
  3
  10个
  120个

Answer 1

请注意，1009是素数。

现在您可以使用Lucas' Theorem。

哪个州：

Let p be a prime.
If n  = a1a2...ar when written in base p and
if k  = b1b2...br when written in base p

(pad with zeroes if required)

Then

(n choose k) modulo p = (a1 choose b1) * (a2 choose  b2) * ... * (ar choose br) modulo p.

i.e. remainder of n choose k when divided by p is same as the remainder of
the product (a1 choose b1) * .... * (ar choose br) when divided by p.
Note: if bi > ai then ai choose bi is 0.

因此，您的问题减少到找到格式为1009的最多log N / log 1009数字（基数1009中N的位数）的形式a选择b其中a＆lt; = 1009且b＆lt; = 1009。

即使N接近10 ^ 15，这也应该更容易。

注意：

对于N = 10 ^ 15，N选择N / 2大于   这是2 ^（100000000000000）的方式   超出无条件的长期。

此外，该算法建议   卢卡斯定理是O（log N）   exponentially比尝试更快   计算二项式系数   直接（即使你做了一个mod 1009   照顾溢出问题。）

以下是我曾经写过的Binomial的一些代码，你需要做的就是修改它来做模数1009的操作（可能有bug，不一定推荐编码风格）：

class Binomial
{
public:
    Binomial(int Max)
    {
        max = Max+1;
        table = new unsigned int * [max]();
        for (int i=0; i < max; i++)
        {
            table[i] = new unsigned int[max]();

            for (int j = 0; j < max; j++)
            {
                table[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    ~Binomial()
    {
        for (int i =0; i < max; i++)
        {
            delete table[i];
        }
        delete table;
    }

    unsigned int Choose(unsigned int n, unsigned int k);

private:
    bool Contains(unsigned int n, unsigned int k);

    int max;
    unsigned int **table;
};

unsigned int Binomial::Choose(unsigned int n, unsigned int k)
{
    if (n < k) return 0;
    if (k == 0 || n==1 ) return 1;
    if (n==2 && k==1) return 2;
    if (n==2 && k==2) return 1;
    if (n==k) return 1;


    if (Contains(n,k))
    {
        return table[n][k];
    }
    table[n][k] = Choose(n-1,k) + Choose(n-1,k-1);
    return table[n][k];
}

bool Binomial::Contains(unsigned int n, unsigned int k)
{
    if (table[n][k] == 0) 
    {
        return false;
    }
    return true;
}

Answer 2

二项式系数是一个因子除以另外两个因子，尽管底部的k!项以明显的方式取消。

观察如果1009（包括它的倍数）在分子中出现的次数多于分母，则答案mod 1009为0.在分母中出现的次数不能超过分子（因为二项式系数）是整数），因此你必须做任何事情的唯一情况是它们在两者中出现的次数相同。不要忘记将（1009）^ 2的倍数计算为两个，依此类推。

在那之后，我认为你只是在清理小案件（意味着少量的数值乘以/除），虽然我不确定没有几个测试。在正面1009是素数，因此算术模1009在一个场中发生，这意味着在从顶部和底部输出1009的倍数之后，你可以按任何顺序完成乘法和除法mod 1009的其余部分。 / p>

如果还有非小的情况，它们仍然会将长连续的整数相乘。知道1008! (mod 1009)可以简化这一过程。它是-1（如果您愿意，则为1008），因为1 ... 1008是p-1上的素数字段的p非零元素。因此，它们由1，-1和(p-3)/2对乘法反转组成。

因此，例如考虑C（（1009 ^ 3），200）的情况。

想象一下，1009的数量是相等的（不知道它们是否相同，因为我没有编写公式来查明），所以这是一个需要工作的情况。

在顶部我们有201 ... 1008，我们必须在预先计算的表中计算或查找，然后是1009，然后是1010 ...... 2017,2018,2019 ... 3026,3027等......范围都是-1，所以我们只需要知道有多少这样的范围。

那留下1009,2018,3027，一旦我们用1009从底部取消它们将只是1,2,3，...... 1008,1010，......，加上一些1009 ^ 2的倍数，我们再次取消并留下连续整数来增加。

我们可以做一些与底部非常相似的东西来计算产品mod 1009的“1 ... 1009 ^ 3 - 200，其中1009的所有功率被分开”。这使我们在一个主要领域中分裂。 IIRC原则上很棘手，但1009是一个足够小的数字，我们可以管理其中的1000个（测试用例数量的上限）。

当然，当k = 200时，存在巨大的重叠，可以更直接地取消。这就是我所说的小案例和非小案例：我把它当作一个非小案例，事实上我们可以通过计算((1009^3-199) * ... * 1009^3) / 200! <来勉强“蛮力”这个案例/ p>

Answer 3

我认为你不想计算C（n，k）然后减去mod 1009.最大的一个，C（1e15,5e14）将需要像1e16位~1000TB

此外，执行snakiles循环回答1e15次似乎可能需要一段时间。您可以使用的是，如果

n = n0 + n1 * p + n2 * p ^ 2 ... + nd * p ^ d

m = m0 + m1 * p + m2 * p ^ 2 ... + md * p ^ d

（其中0 <= mi，ni＆lt; p）

然后 C（n，m）= C（n0，m0）* C（n1，m1）* ... * C（nd，nd）mod p

请参阅，例如http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/paper/binomial/html/binomial.html

一种方法是使用pascal的三角形来构建所有C（m，n）的表，其中0 <= m <= n <= 1009。

Answer 4

用于计算nCk的psudo代码：

result = 1    
for i=1 to min{K,N-K}:
   result *= N-i+1
   result /= i
return result

时间复杂度：O（min {K，N-K}）

循环变为from i=1 to min{K,N-K}而不是from i=1 to K，这是正常的，因为

C(k,n) = C(k, n-k)

如果你使用GammaLn函数，你可以更有效地计算这个东西。

nCk = exp(GammaLn(n+1)-GammaLn(k+1)-GammaLn(n-k+1))

GammaLn函数是Gamma function的自然对数。我知道有一种有效的算法来计算GammaLn函数，但该算法根本不是微不足道的。

Answer 5

以下代码显示了如何获取给定大小“n”的所有二项式系数。您可以轻松地将其修改为在给定的k处停止以确定nCk。它在计算上非常高效，编码简单，适用于非常大的n和k。

binomial_coefficient = 1
output(binomial_coefficient)
col = 0
n = 5

do while col < n
    binomial_coefficient = binomial_coefficient * (n + 1 - (col + 1)) / (col + 1)
    output(binomial_coefficient)
    col = col + 1
loop

二项式系数的输出因此是：

1
1 *  (5 + 1 - (0 + 1)) / (0 + 1) = 5 
5 *  (5 + 1 - (1 + 1)) / (1 + 1) = 15
15 * (5 + 1 - (2 + 1)) / (2 + 1) = 15 
15 * (5 + 1 - (3 + 1)) / (3 + 1) = 5 
5 *  (5 + 1 - (4 + 1)) / (4 + 1) = 1

我曾经在维基百科上找到过这个公式，但出于某种原因它不再存在:(

计算大n＆amp;的二项式系数（nCk）。 ķ

5 个答案: