我想用以下约束计算nCk mod m：
N'LT = 10 ^ 18
K＆LT = 10 ^ 5
M = 10 ^ 9 + 7
我读过这篇文章：
Calculating Binomial Coefficient (nCk) for large n & k
但是这里m的值是1009.因此，使用卢卡斯定理，我们只需要计算1009 * 1009个不同的aCb值，其中a，b <= 1009
如何使用上述约束来完成。 在给定约束条件下，我无法使O（m * k）空间复杂度数组化。
帮助！
答案 0 :(得分：3)
只需使用
这一事实(n, k) = n! / k! / (n - k)! = n*(n-1)*...*(n-k+1)/[k*(k-1)*...*1]
所以你实际上只有2*k=2*10^5个因素。对于数字的倒数，您可以使用 kfx 的建议，因为您的m是素数。
答案 1 :(得分：2)
(n, k)的二项式系数由公式计算：
(n, k) = n! / k! / (n - k)!
要为大数字n和k模数m进行此操作，请注意：
可以逐步计算模数m的因子
每一步都取结果% m。然而，这将是太慢，n高达10 ^ 18。因此faster methods的复杂性受到模数的限制，你可以使用其中的一些。
除法(a / b) mod m等于(a * b^-1) mod m，其中b^-1是b modulo m的倒数（即{{1} }}）。
这意味着：
(b * b^-1 = 1) mod m使用Extended Euclidean algorithm可以有效地找到数字的倒数。假设你已经对因子计算进行了整理，算法的其余部分很简单，只需要注意乘法时的整数溢出。此处的参考代码最多可达(n, k) mod m = (n! * (k!)^-1 * ((n - k)!)^-1) mod m
。为了处理更大的数字，应该用更有效的算法替换因子计算，并且应该稍微调整代码以避免整数溢出，但主要思想将保持不变：
n=10^9答案 2 :(得分：2)
首先，您不需要预先计算和存储所有可能的aCb值！它们可以按案例计算。
第二，对于（k （n选择k）mod m =（（n mod m）选择k）mod m 然后（n mod m）＆lt; 10 ^ 9 + 7你可以简单地使用@kfx提出的代码。
答案 3 :(得分：0)
我们要计算nCk（mod p）。我将在0 <= k <= p-2时处理，因为卢卡斯定理将处理其余部分。
威尔逊定理指出对于素数p（p-1）！ = -1（mod p），或等效地（p-2）！ = 1（mod p）（按除法）。
按除法：（k！）^（-1）=（p-2）！/（k！）=（p-2）（p-3）...（k + 1）（mod p）
因此，二项式系数为n！/（k！（nk）！）= n（n-1）...（n-k + 1）/（k！）= n（n-1）。 ..（n-k + 1）（p-2）（p-3）...（k + 1）（mod p）
Voila。您不必进行任何逆计算或类似的操作。编写代码也很容易。需要考虑几个优化：（1）您可以将（p-2）（p-3）...替换为（-2）（-3）...; （2）nCk在nCk = nC（n-k）的意义上是对称的，因此选择需要进行较少计算的一半。