Question

在尝试使用递归方法求解用于求二项式系数的赋值时，我想出了这个：

public class Binomial
{
   public static long binom(int n, int k)
   {
       if (k==n || k==0)
         return 1;
       else return binom(n-1,k-1) + binom(n-1, k);
  }

对于n=5; k=3，该方法返回值10.用k和n的一堆不同值尝试它们，它们都给出了预期的结果，因此代码有效，我只是不知道为什么以及如何。对于一个愚蠢的解释，我非常感激。谢谢！

Answer 1

这是Pascal的三角形，是二项式系数及其计算的可视化：

每个元素是它上面两个元素的总和。

现在，如果您查看递归公式binom(n, k) = binom(n-1,k-1) + binom(n-1, k)，将n作为行号，将k作为行中元素的位置，您会发现正是以代数形式写下的上述规则。你需要的唯一的东西是边界情况，由你的if-else语句的“then”子句覆盖。

Answer 2

为了证明这种递归方法有效，你必须证明两件事：

该方法在基本情况下返回正确的值（即当k为n或为零时），
假设该方法返回m = n-1的正确值意味着该方法也适用于n。

第一个语句非常正确（if语句可以做到）。

第二个陈述需要用铅笔和纸来解决一个简单的练习，其中你使用二项式系数的定义来证明其含义。

这种构建数学证明的方法称为mathematical induction。它对于编程中的递归方法的推理特别有用。一旦你对数学归纳的理解，特别是它的工作原理变得坚实，你就可以构建自己的递归方法，并且有更好的机会去理解别人写的递归方法。

Answer 3

如评论和其他答案中所述，在维基百科中，您可以看到使用Pascal三角形可以理解递归公式。

您可以将binom（n，k）视为＆＃34;从一组n）中选择k个元素的总体可能性。假设您有一组n-1个元素，并且您知道选择任意数量的所有不同组合（0,1,2,3,4，...，n-1）。朋友来了，给你一个新的元素。现在您有n个元素，并想知道具有新集合的k个元素的组合数。现在有两种可能性： - k是0或n（没有元素或所有元素）：只有一种可能性。 - k是另一个数字：你可以使用你在开始时使用的n-1元素集中的新元素和k-1元素（记住你已经新的那个数字，从n-1个元素中取出k-1）或者你只能使用您在开头使用的集合中的元素（从n-1个元素中取出k）。

因此当n！= k和k！= 0时你可以说P（n，k）= P（n-1，k-1）+ P（n-1，k）你可以理解你的代码

理解用于查找二项式系数的递归方法

3 个答案: