找到闭合贝塞尔曲线边界框的算法？
我正在寻找一种算法来找到笛卡尔轴上闭合二次贝塞尔曲线的边界框（最大/最小点）：
input: C (a closed bezier curve)
output: A B C D points
Image http://www.imagechicken.com/uploads/1270586513022388700.jpg
注意：上图显示平滑曲线。它可能不顺利。 （有角）
7 个答案:
答案 0 :(得分：24)
Ivan Kuckir's DeCasteljau是一种蛮力，但在许多情况下都有效。它的问题是迭代次数。实际形状和坐标之间的距离会影响结果的精度。要找到足够精确的答案，你必须迭代数十次，可能更多。如果曲线急转弯，它可能会失败。
更好的解决方案是找到一阶导数根，如优秀网站http://processingjs.nihongoresources.com/bezierinfo/所述。请阅读查找曲线末端部分。
上面的链接包含二次曲线和三次曲线的算法。
问题的提问者对二次曲线感兴趣，所以这个答案的其余部分可能无关紧要，因为我提供了计算立方曲线末端的代码。
以下是三个Javascript代码，其中第一个（代码1）是我建议使用的代码。
**代码1 **
在测试了processingjs和Raphael的解决方案后，我发现他们有一些限制和/或错误。然后更多的搜索，发现盆景和bounding box function，这是基于NISHIO Hirokazu的Python脚本。两者都有缺点，使用==测试双重等式。当我将这些更改为数字强大的比较时，脚本在所有情况下都100％正确成功。我用数以千计的随机路径和所有共线案例测试了脚本，并且都成功了：
代码如下。通常左侧，右侧，顶部和底部值都是所需的，但在某些情况下，知道局部极值点的坐标和相应的t值是很好的。所以我添加了两个变量：tvalues和points。删除有关它们的代码，您有快速稳定的边界框计算功能。
// Source: http://blog.hackers-cafe.net/2009/06/how-to-calculate-bezier-curves-bounding.html
// Original version: NISHIO Hirokazu
// Modifications: Timo
var pow = Math.pow,
sqrt = Math.sqrt,
min = Math.min,
max = Math.max;
abs = Math.abs;
function getBoundsOfCurve(x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3)
{
var tvalues = new Array();
var bounds = [new Array(), new Array()];
var points = new Array();
var a, b, c, t, t1, t2, b2ac, sqrtb2ac;
for (var i = 0; i < 2; ++i)
{
if (i == 0)
{
b = 6 * x0 - 12 * x1 + 6 * x2;
a = -3 * x0 + 9 * x1 - 9 * x2 + 3 * x3;
c = 3 * x1 - 3 * x0;
}
else
{
b = 6 * y0 - 12 * y1 + 6 * y2;
a = -3 * y0 + 9 * y1 - 9 * y2 + 3 * y3;
c = 3 * y1 - 3 * y0;
}
if (abs(a) < 1e-12) // Numerical robustness
{
if (abs(b) < 1e-12) // Numerical robustness
{
continue;
}
t = -c / b;
if (0 < t && t < 1)
{
tvalues.push(t);
}
continue;
}
b2ac = b * b - 4 * c * a;
sqrtb2ac = sqrt(b2ac);
if (b2ac < 0)
{
continue;
}
t1 = (-b + sqrtb2ac) / (2 * a);
if (0 < t1 && t1 < 1)
{
tvalues.push(t1);
}
t2 = (-b - sqrtb2ac) / (2 * a);
if (0 < t2 && t2 < 1)
{
tvalues.push(t2);
}
}
var x, y, j = tvalues.length,
jlen = j,
mt;
while (j--)
{
t = tvalues[j];
mt = 1 - t;
x = (mt * mt * mt * x0) + (3 * mt * mt * t * x1) + (3 * mt * t * t * x2) + (t * t * t * x3);
bounds[0][j] = x;
y = (mt * mt * mt * y0) + (3 * mt * mt * t * y1) + (3 * mt * t * t * y2) + (t * t * t * y3);
bounds[1][j] = y;
points[j] = {
X: x,
Y: y
};
}
tvalues[jlen] = 0;
tvalues[jlen + 1] = 1;
points[jlen] = {
X: x0,
Y: y0
};
points[jlen + 1] = {
X: x3,
Y: y3
};
bounds[0][jlen] = x0;
bounds[1][jlen] = y0;
bounds[0][jlen + 1] = x3;
bounds[1][jlen + 1] = y3;
tvalues.length = bounds[0].length = bounds[1].length = points.length = jlen + 2;
return {
left: min.apply(null, bounds[0]),
top: min.apply(null, bounds[1]),
right: max.apply(null, bounds[0]),
bottom: max.apply(null, bounds[1]),
points: points, // local extremes
tvalues: tvalues // t values of local extremes
};
};
// Usage:
var bounds = getBoundsOfCurve(532,333,117,305,28,93,265,42);
console.log(JSON.stringify(bounds));
// Prints: {"left":135.77684049079755,"top":42,"right":532,"bottom":333,"points":[{"X":135.77684049079755,"Y":144.86387466397255},{"X":532,"Y":333},{"X":265,"Y":42}],"tvalues":[0.6365030674846626,0,1]}
代码2（在共线情况下失败）：
我将代码从http://processingjs.nihongoresources.com/bezierinfo/sketchsource.php?sketch=tightBoundsCubicBezier翻译为Javascript。代码在正常情况下工作正常，但在所有点位于同一行的共线情况下都不行。
供参考，这是Javascript代码。
function computeCubicBaseValue(a,b,c,d,t) {
var mt = 1-t;
return mt*mt*mt*a + 3*mt*mt*t*b + 3*mt*t*t*c + t*t*t*d;
}
function computeCubicFirstDerivativeRoots(a,b,c,d) {
var ret = [-1,-1];
var tl = -a+2*b-c;
var tr = -Math.sqrt(-a*(c-d) + b*b - b*(c+d) +c*c);
var dn = -a+3*b-3*c+d;
if(dn!=0) { ret[0] = (tl+tr)/dn; ret[1] = (tl-tr)/dn; }
return ret;
}
function computeCubicBoundingBox(xa,ya,xb,yb,xc,yc,xd,yd)
{
// find the zero point for x and y in the derivatives
var minx = 9999;
var maxx = -9999;
if(xa<minx) { minx=xa; }
if(xa>maxx) { maxx=xa; }
if(xd<minx) { minx=xd; }
if(xd>maxx) { maxx=xd; }
var ts = computeCubicFirstDerivativeRoots(xa, xb, xc, xd);
for(var i=0; i<ts.length;i++) {
var t = ts[i];
if(t>=0 && t<=1) {
var x = computeCubicBaseValue(t, xa, xb, xc, xd);
var y = computeCubicBaseValue(t, ya, yb, yc, yd);
if(x<minx) { minx=x; }
if(x>maxx) { maxx=x; }}}
var miny = 9999;
var maxy = -9999;
if(ya<miny) { miny=ya; }
if(ya>maxy) { maxy=ya; }
if(yd<miny) { miny=yd; }
if(yd>maxy) { maxy=yd; }
ts = computeCubicFirstDerivativeRoots(ya, yb, yc, yd);
for(i=0; i<ts.length;i++) {
var t = ts[i];
if(t>=0 && t<=1) {
var x = computeCubicBaseValue(t, xa, xb, xc, xd);
var y = computeCubicBaseValue(t, ya, yb, yc, yd);
if(y<miny) { miny=y; }
if(y>maxy) { maxy=y; }}}
// bounding box corner coordinates
var bbox = [minx,miny, maxx,miny, maxx,maxy, minx,maxy ];
return bbox;
}
CODE 3（适用于大多数情况）：
为了处理共线情况，我找到了Raphael的解决方案，它基于与CODE 2相同的一阶导数方法。我还添加了一个返回值dots，它具有极值点，因为它总是不是足以知道边界框的最小和最大坐标，但我们想知道确切的极值坐标。
代码在这里：
Array.max = function( array ){
return Math.max.apply( Math, array );
};
Array.min = function( array ){
return Math.min.apply( Math, array );
};
var findDotAtSegment = function (p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t) {
var t1 = 1 - t;
return {
x: t1*t1*t1*p1x + t1*t1*3*t*c1x + t1*3*t*t * c2x + t*t*t * p2x,
y: t1*t1*t1*p1y + t1*t1*3*t*c1y + t1*3*t*t * c2y + t*t*t * p2y
};
};
var cubicBBox = function (p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y) {
var a = (c2x - 2 * c1x + p1x) - (p2x - 2 * c2x + c1x),
b = 2 * (c1x - p1x) - 2 * (c2x - c1x),
c = p1x - c1x,
t1 = (-b + Math.sqrt(b * b - 4 * a * c)) / 2 / a,
t2 = (-b - Math.sqrt(b * b - 4 * a * c)) / 2 / a,
y = [p1y, p2y],
x = [p1x, p2x],
dot, dots=[];
Math.abs(t1) > "1e12" && (t1 = 0.5);
Math.abs(t2) > "1e12" && (t2 = 0.5);
if (t1 >= 0 && t1 <= 1) {
dot = findDotAtSegment(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t1);
x.push(dot.x);
y.push(dot.y);
dots.push({X:dot.x, Y:dot.y});
}
if (t2 >= 0 && t2 <= 1) {
dot = findDotAtSegment(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t2);
x.push(dot.x);
y.push(dot.y);
dots.push({X:dot.x, Y:dot.y});
}
a = (c2y - 2 * c1y + p1y) - (p2y - 2 * c2y + c1y);
b = 2 * (c1y - p1y) - 2 * (c2y - c1y);
c = p1y - c1y;
t1 = (-b + Math.sqrt(b * b - 4 * a * c)) / 2 / a;
t2 = (-b - Math.sqrt(b * b - 4 * a * c)) / 2 / a;
Math.abs(t1) > "1e12" && (t1 = 0.5);
Math.abs(t2) > "1e12" && (t2 = 0.5);
if (t1 >= 0 && t1 <= 1) {
dot = findDotAtSegment(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t1);
x.push(dot.x);
y.push(dot.y);
dots.push({X:dot.x, Y:dot.y});
}
if (t2 >= 0 && t2 <= 1) {
dot = findDotAtSegment(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t2);
x.push(dot.x);
y.push(dot.y);
dots.push({X:dot.x, Y:dot.y});
}
// remove duplicate dots
var dots2 = [];
var l = dots.length;
for(var i=0; i<l; i++) {
for(var j=i+1; j<l; j++) {
if (dots[i].X === dots[j].X && dots[i].Y === dots[j].Y)
j = ++i;
}
dots2.push({X: dots[i].X, Y: dots[i].Y});
}
return {
min: {x: Array.min(x), y: Array.min(y)},
max: {x: Array.max(x), y: Array.max(y)},
dots: dots2 // these are the extrema points
};
};
答案 1 :(得分：7)
好吧，我会说你首先将所有端点添加到边界框中。然后，您将浏览所有贝塞尔元素。我假设有问题的公式是这个：
由此，分别为X和Y提取两个公式。通过乘以导数（零交叉）来测试极值。然后将相应的点添加到边界框中。
答案 2 :(得分：6)
使用De Casteljau算法逼近更高阶的曲线。以下是立方曲线的工作原理 http://jsfiddle.net/4VCVX/25/
function getCurveBounds(ax, ay, bx, by, cx, cy, dx, dy)
{
var px, py, qx, qy, rx, ry, sx, sy, tx, ty,
tobx, toby, tocx, tocy, todx, tody, toqx, toqy,
torx, tory, totx, toty;
var x, y, minx, miny, maxx, maxy;
minx = miny = Number.POSITIVE_INFINITY;
maxx = maxy = Number.NEGATIVE_INFINITY;
tobx = bx - ax; toby = by - ay; // directions
tocx = cx - bx; tocy = cy - by;
todx = dx - cx; tody = dy - cy;
var step = 1/40; // precision
for(var d=0; d<1.001; d+=step)
{
px = ax +d*tobx; py = ay +d*toby;
qx = bx +d*tocx; qy = by +d*tocy;
rx = cx +d*todx; ry = cy +d*tody;
toqx = qx - px; toqy = qy - py;
torx = rx - qx; tory = ry - qy;
sx = px +d*toqx; sy = py +d*toqy;
tx = qx +d*torx; ty = qy +d*tory;
totx = tx - sx; toty = ty - sy;
x = sx + d*totx; y = sy + d*toty;
minx = Math.min(minx, x); miny = Math.min(miny, y);
maxx = Math.max(maxx, x); maxy = Math.max(maxy, y);
}
return {x:minx, y:miny, width:maxx-minx, height:maxy-miny};
}
答案 3 :(得分：4)
我相信贝塞尔曲线的控制点形成一个包围曲线的凸包。如果你只想要一个轴对齐的边界框，我认为你需要找到所有段的每个控制点的每个（x，y）的最小值和最大值。
我想这可能不是紧框。也就是说，盒子可能比它需要的略大，但它的计算简单快速。我想这取决于你的要求。
答案 4 :(得分：2)
我认为接受的答案很好，但只是想为其他试图提供更多解释。
考虑具有起点p1，终点p2和“控制点”pc的二次贝塞尔曲线。该曲线有三个参数方程：
-
pa(t) = p1 + t(pc-p1) -
pb(t) = pc + t(p2-pc) -
p(t) = pa(t) + t*(pb(t) - pa(t))
在所有情况下，t从0到1（包括0和1）运行。
前两个是线性的，分别定义从p1到pc和从pc到p2的线段。在pa(t)和pb(t)的表达式中替换后，第三个是二次方;这是实际定义曲线上点的那个。
实际上，这些方程中的每一个都是一对方程，一个用于水平维度，一个用于垂直方程。参数曲线的好处是x和y可以彼此独立地处理。方程式完全相同，只需将x或y替换为上述方程中的p。
重要的一点是，等式3中定义的线段（从pa(t)到pb(t)的特定值t是 tangent 到相应点p(t)处的曲线。要找到曲线的局部极值，您需要找到切线为平坦的参数值（即临界点）。对于垂直维度，您希望找到t的值ya(t) = yb(t)，其中切线的斜率为0.对于水平维度，找到t，使{{1}它给切线一个无限的斜率（即一条垂直线）。在每种情况下，您只需将t的值插回到等式1（或2，甚至3）中即可获得该极值的位置。
换句话说，要找到曲线的垂直极值，只取等式1和2的y分量，将它们设置为彼此相等并求解xa(t) = xb(t);将其插回到等式1的y分量中，以获得该极值的y值。要获得曲线的完整y范围，请找到此极值y值的最小值和两个端点的y分量，同样找到所有三个端点的最大值。重复x以获得水平限制。
请记住，t仅在[0,1]中运行，因此如果得到的值超出此范围，则表示曲线上没有局部极值（至少不在两个端点之间）。这包括在求解t时最终除以零的情况，在执行此操作之前，您可能需要检查它。
同样的想法可以应用于更高阶的贝塞尔曲线，只有更多的更高阶的方程，这也意味着每条曲线可能存在更多的局部极值。例如，在一个三次Bezier（两个控制点）上，求t找到局部极值是一个二次方程，所以你可以得到0,1或2个值（记得要检查0分母，对于负平方根，两者都表明该维度没有局部极值）。要找到范围，您只需要找到所有局部极值的最小值/最大值，以及两个端点。
答案 5 :(得分：1)
我在Calculating the bounding box of cubic bezier curve
中回答了这个问题这篇文章解释了细节，还有一个实时的html5演示：
Calculating / Computing the Bounding Box of Cubic Bezier
我在Snap.svg中找到了一个javascript来计算：here
请参阅bezierBBox和curveDim函数。
我重写了一个javascript函数。
//(x0,y0) is start point; (x1,y1),(x2,y2) is control points; (x3,y3) is end point.
function bezierMinMax(x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3) {
var tvalues = [], xvalues = [], yvalues = [],
a, b, c, t, t1, t2, b2ac, sqrtb2ac;
for (var i = 0; i < 2; ++i) {
if (i == 0) {
b = 6 * x0 - 12 * x1 + 6 * x2;
a = -3 * x0 + 9 * x1 - 9 * x2 + 3 * x3;
c = 3 * x1 - 3 * x0;
} else {
b = 6 * y0 - 12 * y1 + 6 * y2;
a = -3 * y0 + 9 * y1 - 9 * y2 + 3 * y3;
c = 3 * y1 - 3 * y0;
}
if (Math.abs(a) < 1e-12) {
if (Math.abs(b) < 1e-12) {
continue;
}
t = -c / b;
if (0 < t && t < 1) {
tvalues.push(t);
}
continue;
}
b2ac = b * b - 4 * c * a;
if (b2ac < 0) {
continue;
}
sqrtb2ac = Math.sqrt(b2ac);
t1 = (-b + sqrtb2ac) / (2 * a);
if (0 < t1 && t1 < 1) {
tvalues.push(t1);
}
t2 = (-b - sqrtb2ac) / (2 * a);
if (0 < t2 && t2 < 1) {
tvalues.push(t2);
}
}
var j = tvalues.length, mt;
while (j--) {
t = tvalues[j];
mt = 1 - t;
xvalues[j] = (mt * mt * mt * x0) + (3 * mt * mt * t * x1) + (3 * mt * t * t * x2) + (t * t * t * x3);
yvalues[j] = (mt * mt * mt * y0) + (3 * mt * mt * t * y1) + (3 * mt * t * t * y2) + (t * t * t * y3);
}
xvalues.push(x0,x3);
yvalues.push(y0,y3);
return {
min: {x: Math.min.apply(0, xvalues), y: Math.min.apply(0, yvalues)},
max: {x: Math.max.apply(0, xvalues), y: Math.max.apply(0, yvalues)}
};
}
答案 6 :(得分：0)
Timo-s适用于Objective-C的第一个变体
CGPoint CubicBezierPointAt(CGPoint p1, CGPoint p2, CGPoint p3, CGPoint p4, CGFloat t) {
CGFloat x = CubicBezier(p1.x, p2.x, p3.x, p4.x, t);
CGFloat y = CubicBezier(p1.y, p2.y, p3.y, p4.y, t);
return CGPointMake(x, y);
}
// array containing TopLeft and BottomRight points for curve`s enclosing bounds
NSArray* CubicBezierExtremums(CGPoint p1, CGPoint p2, CGPoint p3, CGPoint p4) {
CGFloat a, b, c, t, t1, t2, b2ac, sqrtb2ac;
NSMutableArray *tValues = [NSMutableArray new];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
if (i == 0) {
a = 3 * (-p1.x + 3 * p2.x - 3 * p3.x + p4.x);
b = 6 * (p1.x - 2 * p2.x + p3.x);
c = 3 * (p2.x - p1.x);
}
else {
a = 3 * (-p1.y + 3 * p2.y - 3 * p3.y + p4.y);
b = 6 * (p1.y - 2 * p2.y + p3.y);
c = 3 * (p2.y - p1.y);
}
if(ABS(a) < CGFLOAT_MIN) {// Numerical robustness
if (ABS(b) < CGFLOAT_MIN) {// Numerical robustness
continue;
}
t = -c / b;
if (t > 0 && t < 1) {
[tValues addObject:[NSNumber numberWithDouble:t]];
}
continue;
}
b2ac = pow(b, 2) - 4 * c * a;
if (b2ac < 0) {
continue;
}
sqrtb2ac = sqrt(b2ac);
t1 = (-b + sqrtb2ac) / (2 * a);
if (t1 > 0.0 && t1 < 1.0) {
[tValues addObject:[NSNumber numberWithDouble:t1]];
}
t2 = (-b - sqrtb2ac) / (2 * a);
if (t2 > 0.0 && t2 < 1.0) {
[tValues addObject:[NSNumber numberWithDouble:t2]];
}
}
int j = (int)tValues.count;
CGFloat x = 0;
CGFloat y = 0;
NSMutableArray *xValues = [NSMutableArray new];
NSMutableArray *yValues = [NSMutableArray new];
while (j--) {
t = [[tValues objectAtIndex:j] doubleValue];
x = CubicBezier(p1.x, p2.x, p3.x, p4.x, t);
y = CubicBezier(p1.y, p2.y, p3.y, p4.y, t);
[xValues addObject:[NSNumber numberWithDouble:x]];
[yValues addObject:[NSNumber numberWithDouble:y]];
}
[xValues addObject:[NSNumber numberWithDouble:p1.x]];
[xValues addObject:[NSNumber numberWithDouble:p4.x]];
[yValues addObject:[NSNumber numberWithDouble:p1.y]];
[yValues addObject:[NSNumber numberWithDouble:p4.y]];
//find minX, minY, maxX, maxY
CGFloat minX = [[xValues valueForKeyPath:@"@min.self"] doubleValue];
CGFloat minY = [[yValues valueForKeyPath:@"@min.self"] doubleValue];
CGFloat maxX = [[xValues valueForKeyPath:@"@max.self"] doubleValue];
CGFloat maxY = [[yValues valueForKeyPath:@"@max.self"] doubleValue];
CGPoint origin = CGPointMake(minX, minY);
CGPoint bottomRight = CGPointMake(maxX, maxY);
NSArray *toReturn = [NSArray arrayWithObjects:
[NSValue valueWithCGPoint:origin],
[NSValue valueWithCGPoint:bottomRight],
nil];
return toReturn;
}
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