Question

现在我按照这样计算：

    double dx1 = a.RightHandle.x - a.UserPoint.x;
    double dy1 = a.RightHandle.y - a.UserPoint.y;
    double dx2 = b.LeftHandle.x - a.RightHandle.x;
    double dy2 = b.LeftHandle.y - a.RightHandle.y;
    double dx3 = b.UserPoint.x - b.LeftHandle.x;
    double dy3 = b.UserPoint.y - b.LeftHandle.y;

    float len = sqrt(dx1 * dx1 + dy1 * dy1) + 
        sqrt(dx2 * dx2 + dy2 * dy2) + 
        sqrt(dx3 * dx3 + dy3 * dy3);




    int NUM_STEPS =  int(len * 0.05);

    if(NUM_STEPS > 55)
    {
        NUM_STEPS = 55;
    }
    double subdiv_step  = 1.0 / (NUM_STEPS + 1);
    double subdiv_step2 = subdiv_step*subdiv_step;
    double subdiv_step3 = subdiv_step*subdiv_step*subdiv_step;

    double pre1 = 3.0 * subdiv_step;
    double pre2 = 3.0 * subdiv_step2;
    double pre4 = 6.0 * subdiv_step2;
    double pre5 = 6.0 * subdiv_step3;



    double tmp1x = a.UserPoint.x - a.RightHandle.x * 2.0 + b.LeftHandle.x;
    double tmp1y = a.UserPoint.y - a.RightHandle.y  * 2.0 + b.LeftHandle.y;

    double tmp2x = (a.RightHandle.x - b.LeftHandle.x)*3.0 - a.UserPoint.x + b.UserPoint.x;
    double tmp2y = (a.RightHandle.y - b.LeftHandle.y)*3.0 - a.UserPoint.y + b.UserPoint.y;

    double fx = a.UserPoint.x;
    double fy = a.UserPoint.y;

    //a user
    //a right
    //b left
    //b user

    double dfx = (a.RightHandle.x - a.UserPoint.x)*pre1 + tmp1x*pre2 + tmp2x*subdiv_step3;
    double dfy = (a.RightHandle.y - a.UserPoint.y)*pre1 + tmp1y*pre2 + tmp2y*subdiv_step3;

    double ddfx = tmp1x*pre4 + tmp2x*pre5;
    double ddfy = tmp1y*pre4 + tmp2y*pre5;

    double dddfx = tmp2x*pre5;
    double dddfy = tmp2y*pre5;

    int step = NUM_STEPS;



    while(step--)
    {


        fx   += dfx;
        fy   += dfy;
        dfx  += ddfx;
        dfy  += ddfy;
        ddfx += dddfx;
        ddfy += dddfy;
        temp[0] = fx;
        temp[1] = fy;
        Contour[currentcontour].DrawingPoints.push_back(temp);
    }


    temp[0] = (GLdouble)b.UserPoint.x;
    temp[1] = (GLdouble)b.UserPoint.y;
    Contour[currentcontour].DrawingPoints.push_back(temp);

我想知道是否有更快的方法来插入立方贝塞尔曲线？

由于

Answer 1

查看forward differencing以获得更快的方法。必须小心处理舍入错误。

adaptive subdivision方法，通过一些检查，可以快速准确。

Answer 2

还有一点非常重要，那就是您使用大量固定长度的直线段逼近曲线。这在你的曲线几乎是直的区域是低效的，并且可能导致曲线非常弯曲的令人讨厌的角度折线。没有一个简单的折衷方案可以用于高曲率和低曲率。

为了解决这个问题，您可以动态细分曲线（例如，在中间点将其分成两部分，然后查看两条线段是否在曲线的合理距离内。如果一段是好的适合曲线，停在那里;如果不适合，则以相同的方式细分并重复）。你必须小心细分它，以便在以这种方式采样曲线时不会错过任何局部（小）特征。

这并不总能让您的曲线“更快”，但它会保证在使用达到该质量所需的最少线段数时始终看起来很好。

一旦你绘制曲线“井”，你就可以看看如何“更快”地进行必要的计算。

Answer 3

实际上你应该继续分裂，直到连接曲线上的两条线（终点节点）和它们最远的控制点是＃34;足够平坦＆＃34;： - 完全对齐或 - 他们的交叉点位于＆＃34;平方距离＆＃34;来自两个端节点都低于一半＆＃34;方形像素＆＃34;） - 请注意，您不需要计算实际距离，因为它需要计算平方根，这很慢）

当你遇到这种情况时，忽略控制点并用直线段连接两个端点。

速度更快，因为使用经典的Bresenham算法，您可以快速获得可以直接绘制的直线段，就好像它们是直线一样。

注意：您应该考虑端点的小数位，以正确设置误差变量的初始值，累积差异并使用增量Bresenham算法，以获得更好的结果（特别是当最后一段绘制时离水平或垂直或两个对角线非常近;否则你会得到可见的文物。

在整数网格上对齐的点之间绘制线条的经典Bresenham算法将此误差变量初始化为零，以获得第一个端节点的位置。但是对Bresenham算法进行微小修改后，将两个距离变量和误差值简单地按2的常数幂放大，然后对x或y变量使用0 / + 1增量，保持未缩放。

错误变量的高位也允许您计算可用于使用正确的Alpha阴影绘制两个堆叠像素的Alpha值。在大多数情况下，您的图像最多使用8位色彩平面，因此您不需要为误差值提供超过8位的额外精度，并且可以将放大倍数限制为256：您可以使用它绘制＆＃34;平滑＆＃34;线。

但你可以将自己限制在16（四位）的缩放系数：你必须绘制的典型位图图像不是很宽，它们的分辨率远低于+/- 2十亿（签名32位的限制）整数）：当您将坐标放大16倍时，它将保持28位可以使用，但您应该已经＆＃34;剪切＆＃34;要渲染的位图的视图区域的几何图形，Bresenham算法的错误变量在所有情况下都将保持在56位以下，并且仍然适合64位整数。

如果您的错误变量是32位，则必须将缩放坐标限制在2 ^ 15（不超过15位）以下（对于最坏的情况）（否则Bresenham使用的错误变量符号的测试将不起作用由于最坏情况下的整数溢出），并且升级因子为16（4位），您将被限制为绘制宽度或高度不大于11位的图像，即2048x2048图像。

但是如果您的绘制区域实际上低于2048x2048像素，那么绘制由绘制颜色的16个alpha阴影值平滑的衬里没有问题（要绘制alpha阴影像素，您需要读取orignal像素混合Alpha阴影颜色之前图像中的值，除非计算出的阴影对于您不需要绘制的第一个放样像素为0％，对于第二个堆叠像素为100％，您可以直接用普通的抽奖颜色）

如果您的计算图像还包含alpha通道，则您的绘制颜色也可以具有自己的Alpha值，您需要对其进行着色并与要绘制的像素的Alpha值组合。但是，您不需要任何中间缓冲区来绘制线条，因为您可以直接在目标缓冲区中绘制。

使用Bresenham算法使用的错误变量，由于舍入错误导致完全没有问题，因为这个变量会考虑它们。因此，正确设置其初始值（另一种方法是，在开始细分递归之前，简单地将所有坐标按比例放大16倍，在Bresenham算法本身中，样条曲线慢16倍。）

Answer 4

注意如何计算“足够平坦”。 “平坦度”是两个成功段之间的最小绝对角度（在0和180°之间）的一个轨迹，但是您不需要计算实际角度，因为这个平坦度也等于将余弦设置为最小值他们的相对角度。

余弦值也不需要直接计算，因为你需要的只是两个向量的向量乘积，并将它与它们最大长度的平方进行比较。

另请注意，“余弦的平方”也是“一减去正弦的平方”。最大平方余弦值也是最小平方正弦值...现在你知道使用哪种“矢量乘积”：最快和最简单的计算是标量积，其平方与两者的平方正弦成正比向量和两个向量的平方长度的乘积。

因此，检查曲线是否“足够平坦”很简单：计算两个标量积之间的比率，并查看此比率是否低于“平坦度”常数值（最小平方正弦值）。没有除零，因为你将确定两个向量中的哪一个是最长的，如果这个向量的方形长度低于1/4，那么你的曲线已经足够平坦以获得渲染分辨率;否则检查最长和最短矢量之间的比率（由包含端点和控制点的凸包的交叉对角线形成）：

有二次贝塞尔曲线，凸包是一个三角形，你选择两对
对于立方贝塞尔曲线，凸包是一个四边凸多边形，对角线可以将一个终点与两个控制点中的一个连接起来，或者将两个终点和两个控制点连接在一起你有六种可能性

使用组合给出第一个矢量和第一个矢量之间的最大长度，第一个矢量和其他三个点之一，第二个矢量连接另外两个点）：

您需要确定段的“最小平方长度”，从一个端点或控制点开始，到序列中的下一个控制点或终点。（在二次Bezier中，您只需比较两个段，使用二次Bezier，检查3个段）
如果这个“最小平方长度”低于1/4，你就可以停在那里，曲线“足够平坦”。
然后确定从一个端点开始到任何一个另一个端点或控制点的段的“最大平方长度”（使用二次贝塞尔曲线，您可以安全地使用相同的2个段作为在上面，使用三次贝塞尔曲线，您可以丢弃上面用于连接两个控制点的3个段中的一个，但是添加连接两个端节点的段。）
然后检查“最小平方长度”是否低于常数“平直度”（最小平方正弦）乘以“最大平方长度”的乘积（如果是这样，曲线“足够平坦”。< / p>
在这两种情况下，当您的曲线“足够平坦”时，您只需要绘制连接两个端点的线段。否则，您将递归分割样条曲线。

你可以包括递归的限制，但实际上它永远不会到达，除非曲线的凸包覆盖非常大的绘图区域中的非常大的区域;即使有32级重复，它也不会在对角线长度小于2 ^ 32像素的矩形绘制区域中爆炸（只有在具有浮点的几乎无限空间中分割“虚拟贝塞尔曲线”时才会达到限制坐标，但你不打算直接绘制它，因为你不会在这样的空间中有1/2像素限制，并且只有你为“平面度”设置了极值值你的“最小平方正弦”常数参数是1/2 ^ 32或更低。

计算三次贝塞尔曲线的最快方法？

4 个答案: