如何将闭合贝塞尔曲线转换为位图？

Question

我需要一种算法将闭合贝塞尔曲线（可能是自交叉）转换为二进制位图：0表示内部像素，1表示外部像素。我正在编写一个代码，需要在bezier曲线上实现一些操作，有人可以给我一些关于beziere的资源或教程吗？维基百科和其他人没有说任何关于优化，减法，联合，结插入和删除以及其他操作： - ）

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Answer 1

此paper by Charles Loop and Jim Blinn详细介绍了您的问题。

另一种选择是将贝塞尔曲线细分为线段，然后使用您最喜欢的多边形填充算法。

Answer 2

我想补充说，曲面细分选项非常有效，并且效果非常好。按线段逼近贝塞尔曲线听起来是错误的，因为您认为输出看起来像多边形。诀窍是使线段足够短以使误差非常小（例如，小于1/10像素）。

这是我用来计算步长的公式，以确保最大误差（即线段与真实曲线的偏差）小于delta：

令（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）为贝塞尔曲线的控制点，以像素坐标为单位.j

  dd0 = square(x1-2*x2+x3) + square(y1-2*y2+y3);
  dd1 = square(x2-2*x3+x4) + square(y2-2*y3+y4);
  dd = 6*sqrt(max(dd0, dd1));

然后dd是曲线上二阶导数的最大值 - 因为三次方的二阶导数是一个线性函数，这个最大值必须出现在一个端点上。这里我使用square（x）作为x * x的缩写。

  if (8*delta > dd) {
    epsilon = 1;
  } else {
    epsilon = sqrt(8*delta/dd);
  }

然后epsilon是你的步长：如果你选择t = 0时线段的端点，t = epsilon，t = 2 * epsilon，...，（和t = 1时的最后一个端点），那么线段将在原始曲线的增量范围内。

选择delta = 0.1，您将获得与原始曲线无法区分的位图输出。