n选择楼层的渐近增长（n / 2）

Question

如何找到n选择楼层（n / 2）的渐近增长？我试过了 使用扩展并得到它等于

[n*(n-1)*........*(floor(n/2)+1)] / (n-floor(n/2))!

知道我怎么能从那里出发？ 感谢任何帮助，更喜欢提示答案

Answer 1

使用Stirling's approximation，即可获得

n! = \sqrt{2n\pi}(n/e)^n

如果你将它替换为$ \ choose {n} {n / 2} $，你应该最终得到

2^{n+1/2}/\sqrt{n\pi}

PS。你可能想在实际使用答案之前检查我的数学： - ）

Answer 2

我同意以上答案，但想提供更多的深度。假设n是偶数，我们有：

n choose n/2 = n! / ((n/2)!)^2

要对此进行上限，我们在分子中使用“ Stirling's Approximation”的上限，在分母中使用下限（例如，我们需要最大的分子和最小的分母）。这将为我们提供上限：

n choose n/2 <= [e * n^(n + 1/2) * e^-n] / [sqrt(2*pi) * (n/2)^(n/2 + 1/2) * e^-n/2]^2

然后我们将分母中的指数分布得到：

n choose n/2 <= [e * n^(n + 1/2) * e^-n] / [2*pi * (n/2)^(n+1) * e^-n]

取消e^-n，将2^(n+1)从分母移到分子并进行简化；我们得到：

n choose n/2 <= (e / pi) * [2^n / sqrt(n)]

按照相同的过程进行下界，将斯特林的近似上界置于分母中，将下界置于分子中。这将产生：

n choose n/2 >= (2 * sqrt(2*pi) / e^2) * [2^n / sqrt(n)]

然后我们知道它的下限是某个恒定时间2^n / sqrt(n)，而它的上限是另一个恒定时间2^n / sqrt(n)。

因此，我们得出结论，其渐近增长为n choose n/2 = Theta( 2^n / sqrt(n) )。