哪种类型在给定条件下需要O（n）

Question

我正在为一场比赛做准备并偶然发现了这个问题：考虑一组n个元素，除了一个按顺序出现的元素外，它们被排序。以下哪一项需要O（n）时间？

• 快速排序
• 堆排序
• 合并排序
• 冒泡排序

我的推理如下：

• 我知道合并排序需要O（nlogn），即使在最好的情况下，所以它不是答案。
• 快速排序也需要O（n ^ 2），因为数组几乎已经排序。
• 可以选择冒泡排序，但前提是我们稍微修改它以检查是否在通过中进行了交换。
• 可以选择堆排序，好像我们创建一个排序数组的最小堆需要花费O（n）时间，因为只有一个人没有到位所以他需要登录。

因此我认为它是Heap排序。这个推理是否正确？我想知道我是否遗漏了什么。

Answer 1

让我们从冒泡排序开始吧。根据我的经验，我使用了大多数资源定义的冒泡排序，其停止条件是在迭代中不执行任何交换（参见例如Wikipedia）。在这种情况下，确实冒泡排序确实会在线性步数之后停止。但是，我记得我偶然发现了描述迭代次数不变的描述，这使得你的情况呈二次方式。因此，关于这个案子我只能说“可能是的” - 这取决于比赛裁判所使用的定义。

关于合并排序和快速排序，你是对的 - 两种算法的经典版本在每个输入上强制执行Θ（n log n）行为。

但是，关于堆排序的推理对我来说似乎不对。在堆排序的典型实现中，堆的构建顺序与所需的最终顺序相反。因此，如果您决定构建一个最小堆，算法的结果将是一个相反的顺序，我猜 - 这不是所需的。另一方面，如果你决定构建一个最大堆，那么堆排序显然会花费大量时间来上下移动元素。

因此，在这种情况下，我会选择冒泡。

Answer 2

这是一个糟糕的问题，因为你可以猜出哪些答案是假设的是正确的，但它需要做很多假设才能使它实际上正确的问题是无意义的。

如果您对Wikipedia page所示的bubblesort进行编码，那么它将在O（n）中停止，如果那么乱序的元素在其下方的“正确位置”相对于排序迭代。如果它在上面，则它在每次通过时移动不超过一个位置朝向其正确位置。

要在O（n）中无条件地将元素放到正确的位置，你需要一个bubblesort的变体，它可以在每个方向上交替传递。

其他类别的传统实现在近似排序的输入上是O（n log n），但如果你不小心，Quicksort可以是O（n ^ 2）。需要使用Dutch National Flag分区的正确实现来防止不良行为。

Heapsort只花费O（n）时间来构建堆，但是Theta（n log n）时间以排序的顺序从堆中拉出n个项目，每个项目都在Theta（log n）时间内。