这个算法是N ^ 2吗？

Question

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++)
    for (int j = 1; j <= i*i; j++)
        sum++;

这种复杂性是1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... + N^2吗？如何用big-o表示法表示它？

Answer 1

sum为N(N+1)(2N+1)/6，因此您的算法为O(N^3)。

如果您扩展总和，则1/3 * N^3 + ...

您可以通过在针对sum的不同值运行算法后绘制N的值来简单地看到它：

Answer 2

直截了当地使用Sigma表示法：

Answer 3

另一种看待它的方法是使用“最坏情况”分析。 最初，我们有：

• 外部for循环将运行N次
• 内部for循环将运行i*i次

这可能令人困惑，因为i似乎正在根据外部for循环进行更改。 但是，在“最坏情况”情景中，i获得的最大值为N。

因此，在我们的分析中，只需替换N而不是i。 现在我们有：

• 外部for循环将运行N次
• 内部for循环将运行N*N次

这种情况的时间复杂性当然是O（N³）。

Answer 4

您可以随时使用直观的方式。

• 对于i = 2秒循环1次，第一次循环1次。 1 * 1
• 对于i = 3秒循环9次，首次循环2次。 9 * 2
• 对于i = 4秒循环16次，第一次循环3次16 * 3
• 对于i = 5秒循环25次，第一次循环4次。 25 * 4

。 。

你可以轻松看到这个模式。它是（n2）*（n-1）因此它的大o应该是O（n3）