循环的时间复杂度将值乘以2或3

Question

我在SO问题中找到了以下for循环。

我发现时间复杂度为O(n log n)。

如果我们将k *= 2更改为k *= 3，我将如何找到时间复杂度？

// 'int n' is defined somewhere
int var = 0;
for (int k = 1; k <= n; k *= 2)
   for (int j = 1; j <= n; j++)
      var++;

Answer 1

时间复杂度仍为O(n log n)。

对于k *= 2，log将为2。

对于k *= 3，log将为3。

但log基数的变化只会影响结果的常数因子（这可以从logba = logca / logcb的事实中得出，对于任何基数{{1} }），在big-O表示法中被忽略，因此它们具有相同的时间复杂度。

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我们从哪里获得c？

嗯，log2n的值如下：

k

当然上面只有1, 2, 4, 8, 16, ..., 2m for some m, where 2m <= n < 2m+1 = 20 + 21 + 22 + ... + 2m （m+1到0）条款，因此循环运行m次。

现在，如果我们可以使用一些基本对数来获得m+1的{​​{1}}：

m

我们也可以按照与n完全相同的方法，只需将2m = c.n for some constant c, where 1 <= c < 2 log22m = log2(c.n) m log22 = log2(c.n) m.1 = log2c + log2n m = O(log2c + log2n) = O(log2n) // constant terms can be ignored 替换为k *= 3。

Answer 2

答案是N×log ₃ N。

要了解原因，您需要弄清楚为什么原始问题的答案是N×log ₂ N.它会执行多少次（我们称之为k）？它将根据需要执行多次，以使2自身相乘，以使结果超过N。换句话说，2 ^k ＆gt; N.现在将对数应用于表达式的两侧（可以找到对数的定义here）以查看k＆gt;登录<子> 2 Ñ

我们使用2作为对数基数的原因是左边的指数的基数是2。很容易看出，如果exponen的基数是3，则应用log ₃ 可以得到你正在解决的问题的答案。

Answer 3

您可以使用Sigma表示法正式且有条不紊地进行：

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